Integrales

a) El recinto. Los puntos de corte se obtienen igualando:$$(x-1)^{2} = a \;\Longrightarrow\; x - 1 = \pm\sqrt{a} \;\Longrightarrow\; x = 1 - \sqrt{a} \quad\text{y}\quad x = 1 + \sqrt{a}$$El recinto es la región tipo "casquete" limitada arriba por la recta horizontal $y = a$ y abajo por la parábola de vértice $(1,0)$, entre las abscisas $1-\sqrt{a}$ y $1+\sqrt{a}$. Es simétrico respecto de la recta vertical $x=1$, y su altura máxima (en el vértice) es exactamente $a$.

b) El área. Entre los cortes la recta va por encima de la parábola, luego$$A = \int_{1-\sqrt{a}}^{1+\sqrt{a}} \Bigl[a - (x-1)^{2}\Bigr]\,dx$$Con el cambio $u = x - 1$ ($du = dx$; los límites pasan a $-\sqrt{a}$ y $\sqrt{a}$):$$A = \int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} \bigl(a - u^{2}\bigr)\,du = \left[a\,u - \frac{u^{3}}{3}\right]_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}}$$$$A = \left(a\sqrt{a} - \frac{a\sqrt{a}}{3}\right) - \left(-a\sqrt{a} + \frac{a\sqrt{a}}{3}\right) = 2\left(a\sqrt{a} - \frac{a\sqrt{a}}{3}\right) = \frac{4}{3}\,a\sqrt{a} = \frac{4}{3}\,a^{3/2}$$Imponemos que valga $\frac{4}{3}$:$$\frac{4}{3}\,a^{3/2} = \frac{4}{3} \;\Longrightarrow\; a^{3/2} = 1 \;\Longrightarrow\; a = 1$$(La solución es única: $a \mapsto a^{3/2}$ es estrictamente creciente para $a>0$.)

Comprobación con $a = 1$. Los cortes son $x=0$ y $x=2$, y$$A = \int_{0}^{2}\Bigl[1 - (x-1)^{2}\Bigr]dx = \left[x - \frac{(x-1)^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = \left(2 - \frac{1}{3}\right) - \left(0 + \frac{1}{3}\right) = \frac{4}{3}$$