Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2008 · Reserva 6 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. Sea

f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}

la función definida por

f(x) = \bigl(3x-2x^{2}\bigr)e^{x}

a) [1,5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de

f

.

b) [1 punto] Calcula los extremos relativos de

f

(abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f'(x) = e^{x}\bigl(-2x^{2}-x+3\bigr) = -e^{x}\,(2x+3)(x-1)\;}

\boxed{\;f'(x) = 0 \iff x = -\tfrac32, \ x = 1\;}

\boxed{\;\text{Crece en } \left(-\tfrac32,1\right); \ \text{decrece en } \left(-\infty,-\tfrac32\right)\cup(1,\infty)\;}

\boxed{\;\text{Mín. } \left(-\tfrac32,\,-9e^{-3/2}\right)\approx(-1{,}5;\,-2{,}01); \ \text{Máx. } (1,\,e)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Derivada de un producto. Al sacar factor común

e^{x}

queda un polinomio de segundo grado:

f'(x) = e^{x}\bigl(-2x^{2}-x+3\bigr)

Y como

e^{x}>0

siempre, el signo de

f'

es el del polinomio (cambiado de signo al factorizar).

Desarrollo

a) La derivada.

f'(x) = (3-4x)\,e^{x}+\bigl(3x-2x^{2}\bigr)e^{x} = e^{x}\bigl(3-4x+3x-2x^{2}\bigr)

f'(x) = e^{x}\bigl(-2x^{2}-x+3\bigr) = -e^{x}\bigl(2x^{2}+x-3\bigr) = -e^{x}\,(2x+3)(x-1)

Los ceros.

f'(x) = 0 \;\Longleftrightarrow\; x = -\frac32 \quad \text{o} \quad x = 1

El signo (recordando que

-e^{x}<0

\begin{array}{c|c|c|c} & \left(-\infty,-\tfrac32\right) & \left(-\tfrac32,1\right) & (1,+\infty) \\ \hline (2x+3)(x-1) & + & - & + \\ \hline f' = -e^{x}(\cdot) & - & + & - \\ \hline f & \text{decrece} & \text{crece} & \text{decrece}\end{array}

\textbf{Crece en } \left(-\frac32,\,1\right) \qquad \textbf{Decrece en } \left(-\infty,-\frac32\right)\cup(1,+\infty)

b) Los extremos relativos.

x = -\frac32: \ f' \text{ pasa de } - \text{ a } + \;\Longrightarrow\; \textbf{mínimo relativo}

f\!\left(-\frac32\right) = \left(-\frac92-2\cdot\frac94\right)e^{-3/2} = \left(-\frac92-\frac92\right)e^{-3/2} = -9\,e^{-3/2} \approx -2{,}01

x = 1: \ f' \text{ pasa de } + \text{ a } - \;\Longrightarrow\; \textbf{máximo relativo}

f(1) = (3-2)\,e = e \approx 2{,}72

\textbf{Mínimo } \left(-\tfrac32,\; -9e^{-3/2}\right) \qquad \textbf{Máximo } (1,\; e)

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Consejo

Saca factor común $e^{x}$ al derivar: como nunca se anula, el signo de $f'$ lo decide solo el polinomio que lo acompaña, y ahí basta factorizar.

Cuidado con el signo global: $-2x^{2}-x+3 = -(2x+3)(x-1)$ . Ese menos invierte el signo del producto y es lo que hace que el mínimo esté a la izquierda y el máximo a la derecha.

Da los extremos con abscisa y valor, como pide el enunciado. Y deja $-9e^{-3/2}$ en forma exacta, añadiendo el decimal solo como referencia.