Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Optimización

Andalucía · 2015 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Se quiere construir un depósito abierto de base cuadrada y paredes verticales con capacidad para

13{,}5

metros cúbicos. Para ello se dispone de una chapa de acero de grosor uniforme. Calcula las dimensiones del depósito para que el gasto en chapa sea el mínimo posible.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;x^{2}h = 13{,}5 \;\Longrightarrow\; h = \frac{27}{2x^{2}}; \qquad S = x^{2}+4xh \ \ (\text{sin tapa})\;}

\boxed{\;S(x) = x^{2}+\frac{54}{x}; \qquad S'(x) = 2x-\frac{54}{x^{2}} = 0 \;\Longrightarrow\; x = 3\;}

\boxed{\;\text{Base } 3\times3 \ \text{m}, \quad h = 1{,}5 \ \text{m}, \quad S_{\min} = 27 \ \text{m}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Minimizar superficie con restricción de volumen. Dos detalles del enunciado que fijan la función:

Base cuadrada: si el lado es $x$ y la altura $h$ , el volumen es $x^{2}h$ y la base aporta $x^{2}$ de chapa.
Abierto: no hay tapa, así que solo se cuentan la base y las cuatro paredes laterales.

S = x^{2}+4xh

Con

x^{2}h = 13{,}5

se despeja

h

y se minimiza en una sola variable.

Desarrollo

Variables y restricción. Lado de la base

x

y altura

h

(en metros), ambos positivos:

x^{2}h = 13{,}5 = \frac{27}{2} \;\Longrightarrow\; h = \frac{27}{2x^{2}}

La chapa. Base más cuatro paredes:

S = x^{2}+4xh

En una sola variable.

S(x) = x^{2}+4x\cdot\frac{27}{2x^{2}} = x^{2}+\frac{54}{x}, \qquad x>0

Derivada y punto crítico.

S'(x) = 2x-\frac{54}{x^{2}} = 0 \;\Longrightarrow\; 2x^{3} = 54 \;\Longrightarrow\; x^{3} = 27 \;\Longrightarrow\; x = 3 \ \text{m}

Es mínimo.

S''(x) = 2+\frac{108}{x^{3}} > 0 \quad \text{para } x>0 \;\Longrightarrow\; \textbf{mínimo}

La altura.

h = \frac{27}{2\cdot 9} = \frac{27}{18} = \frac{3}{2} = 1{,}5 \ \text{m}

\textbf{Base } 3\times3 \ \text{m}, \qquad \textbf{altura } 1{,}5 \ \text{m}

(Observa la relación $h = \frac x2$ : en un depósito abierto de base cuadrada, el óptimo tiene la altura igual a la mitad del lado.)

La chapa empleada.

S = 9+\frac{54}{3} = 9+18 = 27 \ \text{m}^{2}

Comprobación del volumen.

\;3^{2}\cdot 1{,}5 = 13{,}5

^{3}

\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"Abierto" es la palabra clave: la superficie es $x^{2}+4xh$ , no $2x^{2}+4xh$ . Si añades la tapa, el óptimo cambia y el resultado deja de ser correcto.

Convierte $13{,}5$ a fracción ( $\frac{27}{2}$ ) desde el principio: los cálculos salen exactos y el punto crítico $x^{3}=27$ es inmediato. Con decimales es fácil perder precisión.

Justifica el mínimo con $S''>0$ . Y comprueba al final que las dimensiones dan el volumen pedido: es la verificación más rápida y detecta cualquier error de despeje.