Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

Andalucía · 2008 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Sea

f

la función definida, para

x\neq0

, por

f(x) = x\,e^{1/x}

Determina las asíntotas de la gráfica de

f

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\lim_{x\to0^{+}}x\,e^{1/x} = +\infty; \qquad \lim_{x\to0^{-}}x\,e^{1/x} = 0\;}

\boxed{\;\textbf{A. vertical } x = 0 \ \text{(solo por la derecha)}; \ \text{sin horizontales}\;}

\boxed{\;m = \lim e^{1/x} = 1; \qquad n = \lim x\bigl(e^{1/x}-1\bigr) \overset{t = 1/x}{=} \lim_{t\to0}\frac{e^{t}-1}{t} = 1\;}

\boxed{\;\textbf{A. oblicua } y = x+1\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El punto delicado es

x = 0

: los dos límites laterales son distintos, porque

\frac1x\to+\infty

por la derecha y

\to-\infty

por la izquierda.

Para la asíntota oblicua, el cambio

\;t = \dfrac1x\;

convierte los límites en otros conocidos:

\lim_{x\to\infty}x\bigl(e^{1/x}-1\bigr) = \lim_{t\to0}\frac{e^{t}-1}{t} = 1

Desarrollo

Asíntota vertical: $x = 0$ .

Por la derecha (

x\to0^{+}

, luego

\frac1x\to+\infty

): con

t = \frac1x\to+\infty

x\,e^{1/x} = \frac{e^{t}}{t} \;\longrightarrow\; +\infty

(La exponencial gana a la potencia.)

Por la izquierda (

x\to0^{-}

, luego

\frac1x\to-\infty

e^{1/x}\to0 \quad \text{y} \quad x\to0 \;\Longrightarrow\; x\,e^{1/x}\to 0

\textbf{Asíntota vertical } x = 0, \textbf{ solo por la derecha}

(Por la izquierda la función tiende a $0$ : no hay rama infinita.)

Asíntota horizontal: no hay.

\lim_{x\to\pm\infty}x\,e^{1/x} = \pm\infty \qquad \bigl(e^{1/x}\to e^{0} = 1\bigr)

Asíntota oblicua $y = mx+n$ .

m = \lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to\pm\infty}e^{1/x} = e^{0} = 1

n = \lim_{x\to\pm\infty}\bigl[f(x)-x\bigr] = \lim_{x\to\pm\infty}x\,\bigl(e^{1/x}-1\bigr)

Con el cambio $t = \dfrac1x$ (que tiende a

0

cuando

x\to\pm\infty

n = \lim_{t\to0}\frac{e^{t}-1}{t} = 1

(Es un límite conocido; también sale por L'Hôpital: $\lim\frac{e^{t}}{1} = 1$ .)

\textbf{Asíntota oblicua: } y = x+1 \quad \text{(en } +\infty \text{ y en } -\infty)

Comprobación numérica. En

x = 100

100\,e^{0{,}01} \approx 100\cdot1{,}01005 = 101{,}005 \qquad 100+1 = 101 \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Los dos límites laterales en $x=0$ son radicalmente distintos: $+\infty$ por la derecha y $0$ por la izquierda. Hay que calcular los dos y decirlo.

El cambio $t = \frac1x$ transforma $\lim_{x\to\infty}$ en $\lim_{t\to0}$ y deja el límite notable $\frac{e^{t}-1}{t}\to1$ . Es el atajo del ejercicio.

Comprueba la asíntota con un valor grande: $f(100)\approx101$ y $x+1 = 101$ . Diez segundos que confirman todo el apartado.