Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Optimización

Andalucía · 2011 · Reserva 3 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. [2,5 puntos] En el primer cuadrante representamos un rectángulo de tal manera que tiene un vértice en el origen de coordenadas y el vértice opuesto en la parábola

y = -x^{2}+3

Determina las dimensiones del rectángulo para que su área sea máxima.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Vértice } (x,y) \text{ en la parábola}: \ y = 3-x^{2}, \quad 0<x<\sqrt3\;}

\boxed{\;A(x) = x\,y = x\,(3-x^{2}) = 3x-x^{3}\;}

\boxed{\;A'(x) = 3-3x^{2} = 0 \;\Longrightarrow\; x = 1 \quad (A''(1) = -6<0)\;}

\boxed{\;\text{base } = 1, \quad \text{altura } = 2, \quad A_{\max} = 2 \ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Si el vértice opuesto al origen es

(x,y)

con

x>0

y>0

, los lados del rectángulo miden exactamente

x

y

(porque el otro vértice está en el origen y los lados van paralelos a los ejes).

La ligadura es que ese vértice esté en la parábola:

y = -x^{2}+3

. Sustituyendo, el área queda como función de una sola variable.

El dominio útil es

0<x<\sqrt3

(donde la parábola es positiva).

Desarrollo

Las variables.

\text{vértice opuesto} = (x,\,y) \qquad \text{base} = x \qquad \text{altura} = y

La ligadura.

y = -x^{2}+3, \qquad 0<x<\sqrt3

El área.

A(x) = x\,y = x\,\bigl(3-x^{2}\bigr) = 3x-x^{3}

Derivamos e igualamos a cero.

A'(x) = 3-3x^{2} = 3\,\bigl(1-x^{2}\bigr) = 0 \;\Longrightarrow\; x^{2} = 1 \;\Longrightarrow\; x = 1

(La raíz $x = -1$ se descarta: estamos en el primer cuadrante.)

Es máximo.

A''(x) = -6x \;\Longrightarrow\; A''(1) = -6 < 0 \;\checkmark

Las dimensiones.

x = 1 \qquad y = -1+3 = 2

\textbf{Base } 1, \qquad \textbf{altura } 2, \qquad A_{\max} = 1\cdot2 = 2 \ \text{u}^{2}

Comprobación de que el vértice está en la parábola:

\;-1^{2}+3 = 2

\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Lo que hace fácil este problema es la posición del rectángulo: con un vértice en el origen y lados paralelos a los ejes, las dimensiones son las coordenadas del vértice opuesto.

Indica el dominio ( $0<x<\sqrt3$ ): fuera de él la "altura" sería negativa y el problema no tendría sentido geométrico. Es también lo que justifica descartar $x=-1$ .

Con $A''$ tan sencilla, usa el criterio de la segunda derivada para justificar el máximo: es más rápido que hacer la tabla de signos.