Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2016 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. Sea la función

f : (0,+\infty) \to \mathbb{R}

definida por

f(x) = \dfrac{\ln(x)}{x}

, donde

\ln

denota logaritmo neperiano.

a) [1 punto] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de

f

.

b) [1,5 puntos] Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de

f

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a) } \lim_{x\to0^{+}}f = -\infty \Rightarrow \text{A.V. } x=0; \qquad \lim_{x\to+\infty}f = 0 \Rightarrow \text{A.H. } y=0\;}

\boxed{\;\text{b) } f'(x) = \frac{1-\ln x}{x^{2}} = 0 \;\Longrightarrow\; x = e\;}

\boxed{\;\text{Crece en } (0,e), \ \text{decrece en } (e,+\infty); \quad \text{máximo } \left(e,\tfrac1e\right)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El dominio ya viene dado:

(0,+\infty)

. Solo hay dos "bordes" que estudiar,

x\to 0^{+}

x\to +\infty

, y en cada uno puede aparecer una asíntota.

En $0^{+}$ : numerador $\to -\infty$ y denominador $\to 0^{+}$ , así que no hay indeterminación: el cociente se dispara a $-\infty$ .
En $+\infty$ : indeterminación $\frac{\infty}{\infty}$ , que resuelve L'Hôpital (o el hecho de que el logaritmo crece más despacio que cualquier potencia).

Para b), derivada de un cociente y estudio del signo.

Desarrollo

a) Asíntota vertical.

\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln x}{x} = \frac{-\infty}{0^{+}} = -\infty

\textbf{Asíntota vertical: } x = 0 \quad (\text{la rama baja a } -\infty)

Asíntota horizontal. Indeterminación

\frac{\infty}{\infty}

, aplicamos L'Hôpital:

\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x} = \lim_{x\to+\infty}\frac{1/x}{1} = \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x} = 0

\textbf{Asíntota horizontal: } y = 0 \quad \text{cuando } x\to+\infty

Asíntotas oblicuas. No hay: al existir asíntota horizontal en

+\infty

, queda descartada la oblicua en esa dirección, y

-\infty

no está en el dominio.

b) La derivada. Regla del cociente:

f'(x) = \frac{\dfrac{1}{x}\cdot x - \ln x\cdot 1}{x^{2}} = \frac{1-\ln x}{x^{2}}

Puntos críticos. Como

x^{2}>0

, el signo de

f'

es el del numerador:

1-\ln x = 0 \;\Longrightarrow\; \ln x = 1 \;\Longrightarrow\; x = e

Signo de $f'$ .

0<x<e: \; \ln x < 1 \;\Rightarrow\; f' > 0 \;\Rightarrow\; \textbf{crece}

x>e: \; \ln x > 1 \;\Rightarrow\; f' < 0 \;\Rightarrow\; \textbf{decrece}

\text{Crece en } (0,\,e) \qquad \text{Decrece en } (e,\,+\infty)

El extremo. Pasa de crecer a decrecer en

x = e

: máximo relativo (y absoluto).

f(e) = \frac{\ln e}{e} = \frac{1}{e} \approx 0{,}368

\textbf{Máximo en } \left(e,\; \frac1e\right)

(Comprobación con la segunda derivada: $f''(e) = -e^{-3} < 0$ , efectivamente máximo.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En $x\to 0^{+}$ no hay indeterminación: $\frac{-\infty}{0^{+}}$ es directamente $-\infty$ . Aplicar L'Hôpital ahí es un error conceptual (solo vale para $\frac00$ y $\frac\infty\infty$ ).

Como el dominio es $(0,+\infty)$ , solo hay que mirar $+\infty$ , no $-\infty$ . Estudiar límites fuera del dominio no puntúa y confunde.

El signo de $f'$ lo decide solo el numerador, porque $x^{2}>0$ en todo el dominio. Ese tipo de observación ahorra media página de casos.