Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2025 · Julio

Enunciado

Ejercicio 2 (bloque con optatividad 1). Considera la función

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

definida por

f(x) = \frac{1}{x^{2} + 2x + 2}

Calcula una primitiva de

f

cuya gráfica pase por el punto

\left(0, \dfrac{\pi}{4}\right)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;F(x) = \arctan(x + 1)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El primer reflejo ante una fracción con un polinomio de segundo grado abajo es factorizar y descomponer en fracciones simples. Aquí no se puede: el discriminante es

\Delta = 4 - 8 = -4 < 0

, así que el denominador no tiene raíces reales y no factoriza.

Cuando pasa eso, la primitiva es un arcotangente, y el camino es completar cuadrados para dejar el denominador con la forma

u^{2} + 1

. La

\pi/4

del enunciado es el aviso de que ahí hay un arcotangente esperando.

Desarrollo

Paso 1: completar cuadrados.

x^{2} + 2x + 2 = (x^{2} + 2x + 1) + 1 = (x+1)^{2} + 1

(Comprobamos de paso que

\Delta = 2^{2} - 4\cdot 1\cdot 2 = -4 < 0

: el denominador nunca se anula, luego

f

está definida y es continua en todo

\mathbb{R}

, como dice el enunciado.)

Paso 2: integrar. Con el cambio inmediato

u = x+1

du = dx

\int \frac{dx}{(x+1)^{2} + 1} = \int \frac{du}{u^{2} + 1} = \arctan(u) + C = \arctan(x+1) + C

Así que todas las primitivas de

f

son

F(x) = \arctan(x + 1) + C

Paso 3: imponer que pase por $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ .

F(0) = \arctan(1) + C = \frac{\pi}{4} + C

\frac{\pi}{4} + C = \frac{\pi}{4} \;\Longrightarrow\; C = 0

La primitiva pedida es

F(x) = \arctan(x + 1)

Comprobación. Derivando:

F'(x) = \frac{1}{(x+1)^{2} + 1} = \frac{1}{x^{2} + 2x + 2} = f(x)

F(0) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}

, como se pedía.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Antes de nada, calcula el discriminante. Si $\Delta \geq 0$ el camino es fracciones simples (logaritmos); si $\Delta < 0$ , es completar cuadrados y arcotangente. Elegir mal la ruta al principio te lleva a un callejón sin salida y te come el tiempo del examen.

Y no olvides el paso final: piden una primitiva concreta, no la familia. Dejar la respuesta en $\arctan(x+1) + C$ sin usar el punto es dejarse la mitad de la pregunta.