Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2010 · Junio · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. Considera la función

f

dada por

\;f(x) = 5-x\;

y la función

g

definida como

g(x) = \frac4x \qquad \text{para } x\neq0

a) [1 punto] Esboza el recinto limitado por las gráficas de

f

g

indicando sus puntos de corte.

b) [1,5 puntos] Calcula el área de dicho recinto.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;5-x = \frac4x \;\Longrightarrow\; x^{2}-5x+4 = 0 \;\Longrightarrow\; x = 1, \ x = 4\;}

\boxed{\;\text{Cortes } (1,4) \text{ y } (4,1); \ \text{arriba va } f \ \bigl(f(2) = 3 > g(2) = 2\bigr)\;}

\boxed{\;A = \int_{1}^{4}\left[5-x-\frac4x\right]dx = \left[5x-\frac{x^{2}}{2}-4\ln x\right]_{1}^{4}\;}

\boxed{\;A = \bigl(12-4\ln4\bigr)-\frac92 = \frac{15}{2}-8\ln2 \approx 1{,}96 \ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Una recta decreciente y una hipérbola. Al igualarlas aparece un denominador, así que se multiplica por

x

(recordando que

x\neq0

) y queda una ecuación de segundo grado.

5-x = \frac4x \;\Longrightarrow\; 5x-x^{2} = 4 \;\Longrightarrow\; x^{2}-5x+4 = 0

Las dos soluciones son positivas, así que el recinto está en la rama derecha de la hipérbola y la integral no pasa por el punto conflictivo

x=0

Desarrollo

a) Los puntos de corte.

5-x = \frac4x \;\Longrightarrow\; x\,(5-x) = 4 \;\Longrightarrow\; x^{2}-5x+4 = 0

(x-1)(x-4) = 0 \;\Longrightarrow\; x = 1 \quad \text{o} \quad x = 4

f(1) = 4 \qquad f(4) = 1

\text{Cortes: } (1,\,4) \qquad \text{y} \qquad (4,\,1)

Las gráficas.

f

es la recta que pasa por

(0,5)

(5,0)

;

g

es la hipérbola equilátera

xy = 4

, con asíntotas los ejes. Entre

x=1

x=4

encierran un recinto con forma de lente.

¿Quién va arriba? En

x = 2

f(2) = 3 \qquad > \qquad g(2) = 2

La recta está por encima en todo

[1,4]

.

b) El área.

A = \int_{1}^{4}\left[(5-x)-\frac4x\right]dx = \left[5x-\frac{x^{2}}{2}-4\ln x\right]_{1}^{4}

(Se puede escribir $\ln x$ sin valor absoluto: en $[1,4]$ es $x>0$ .)

En $x = 4$ :

20-8-4\ln4 = 12-4\ln4

En $x = 1$ :

5-\frac12-4\ln1 = \frac92

Restando:

A = 12-4\ln4-\frac92 = \frac{15}{2}-4\ln4

Y como

\ln4 = 2\ln2

A = \frac{15}{2}-8\ln2 \approx 7{,}5-5{,}545 = 1{,}955 \ \text{u}^{2}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Al igualar $5-x = \frac4x$ multiplicas por $x$ : recuerda que $x\neq0$ . Aquí las dos soluciones son positivas, así que no se pierde ninguna, pero el paso hay que justificarlo.

Comprueba que el intervalo $[1,4]$ no contiene el $0$ : si lo contuviera, la integral de $\frac4x$ sería impropia y el planteamiento fallaría.

$\int\frac4x\,dx = 4\ln|x|$ , no $\frac{4}{x^{2}}$ ni $4x^{-1}$ . Y al final conviene dejarlo con $\ln2$ : $\;4\ln4 = 8\ln2$ , más limpio para comparar con la solución oficial.