Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2010 · Reserva 3 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. Considera la función

f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}

definida por

f(x) = x\,|2-x|

a) [1 punto] Esboza su gráfica.

b) [1,5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de

f

, el eje de abscisas y la recta de ecuación

\;x = 3

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f(x) = \begin{cases} 2x-x^{2} & x\leq2 \\ x^{2}-2x & x>2\end{cases}\;}

\boxed{\;\text{Cortes con } OX: \ x = 0 \text{ y } x = 2; \ \text{vértice } (1,1) \text{ en el 1.er tramo}\;}

\boxed{\;\int_{0}^{2}\bigl(2x-x^{2}\bigr)dx = 4-\frac83 = \frac43\;}

\boxed{\;\int_{2}^{3}\bigl(x^{2}-2x\bigr)dx = \frac43; \qquad A = \frac83 \approx 2{,}67 \ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El valor absoluto obliga a partir la función en dos tramos por el punto donde cambia de signo lo de dentro:

2-x = 0 \Rightarrow x = 2

f(x) = \begin{cases} x\,(2-x) = 2x-x^{2} & \text{si } x\leq2 \\ x\,(x-2) = x^{2}-2x & \text{si } x>2\end{cases}

Son dos trozos de parábola: uno hacia abajo (hasta

x=2

) y otro hacia arriba (a partir de

x=2

).

Como

f\geq0

[0,3]

, la integral se parte en

[0,2]

[2,3]

, pero sin cambios de signo.

Desarrollo

a) La gráfica.

Tramo $x\leq2$ :

\;f(x) = 2x-x^{2} = x(2-x)

, parábola de ramas hacia abajo, con cortes en

x=0

x=2

y vértice en

(1,1)

.

Tramo $x>2$ :

\;f(x) = x^{2}-2x = x(x-2)

, parábola de ramas hacia arriba, con cortes en

x=0

x=2

(solo se dibuja la parte

x>2

, creciente).

En

x=2

las dos ramas valen

0

: la función es continua, con un "pico" en

(2,0)

.

Cortes con el eje $X$ :

\;x = 0\;

\;x = 2

.

b) El área. La gráfica toca el eje en

x=0

y en

x=2

, así que el recinto que cierran la curva, el eje

X

y la recta

x=3

va de

x=0

x=3

(dos lóbulos que se tocan en

(2,0)

). En

[0,3]

la función es

\geq0

en los dos tramos, así que el área es la suma de dos integrales:

A = \int_{0}^{2}\bigl(2x-x^{2}\bigr)dx+\int_{2}^{3}\bigl(x^{2}-2x\bigr)dx

Primer trozo.

\int_{0}^{2}\bigl(2x-x^{2}\bigr)dx = \left[x^{2}-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = 4-\frac83 = \frac{12-8}{3} = \frac43

Segundo trozo.

\int_{2}^{3}\bigl(x^{2}-2x\bigr)dx = \left[\frac{x^{3}}{3}-x^{2}\right]_{2}^{3} = \bigl(9-9\bigr)-\left(\frac83-4\right) = 0+\frac43 = \frac43

El área total.

A = \frac43+\frac43 = \frac83 \approx 2{,}67 \ \text{u}^{2}

(Los dos trozos valen lo mismo; es una coincidencia de este enunciado, no una regla.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Con valor absoluto, parte la función en el punto donde se anula lo de dentro ( $x=2$ ) y escribe las dos expresiones antes de integrar. Sin eso, el área sale mal.

Aquí los dos trozos son positivos, así que no hay que cambiar ningún signo. Aun así, conviene decirlo: es lo que justifica sumar las dos integrales tal cual.

El "pico" en $(2,0)$ es un punto de no derivabilidad, pero la función sí es continua ahí. Ambas cosas conviene mencionarlas en el esbozo.