Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2022 · Reserva 2

Enunciado

Ejercicio 2 (bloque A). Considera la función

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

definida por

f(x) = \ln\left(x^{2} + 1\right)

(donde

\ln

denota la función logaritmo neperiano).

a) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de

f

.

b) [1,5 puntos] Determina los intervalos de convexidad y de concavidad de

f

y los puntos de inflexión de su gráfica.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad \text{Decreciente en } (-\infty, 0), \quad \text{creciente en } (0, +\infty); \quad \text{mínimo en } (0, 0)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \text{Convexa en } (-1, 1); \quad \text{cóncava en } (-\infty,-1) \text{ y } (1, +\infty)\;}

\boxed{\;\text{Puntos de inflexión: } (-1,\, \ln 2) \text{ y } (1,\, \ln 2)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El dominio es todo $\mathbb{R}$ , porque

x^{2}+1 \geq 1 > 0

siempre: no hay restricciones que discutir. Y la función es par, así que todo lo que ocurra a la derecha del eje

OY

se refleja a la izquierda.

Lo demás es el guion habitual: signo de

f'

para el crecimiento, signo de

f''

para la curvatura. La ventaja aquí es que los denominadores son siempre positivos (

x^{2}+1

y su cuadrado), así que el signo lo decide únicamente el numerador. Eso simplifica mucho las tablas.

Desarrollo

a) Primera derivada. Por la regla de la cadena:

f'(x) = \frac{2x}{x^{2} + 1}

Como

x^{2}+1 > 0

para todo

x

, el signo de

f'

es el signo de $2x$ , es decir, el de

x

$f'(x) < 0$ para $x < 0$ : decreciente en $(-\infty, 0)$ .
$f'(x) > 0$ para $x > 0$ : creciente en $(0, +\infty)$ .

x = 0

hay un mínimo relativo (y absoluto, por el cambio de monotonía en todo el dominio), con

f(0) = \ln 1 = 0

b) Segunda derivada. Derivando el cociente:

f''(x) = \frac{2\bigl(x^{2}+1\bigr) - 2x\cdot 2x}{\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}} = \frac{2x^{2} + 2 - 4x^{2}}{\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}} = \frac{2\bigl(1 - x^{2}\bigr)}{\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}}

El denominador es siempre positivo, así que el signo lo marca

1 - x^{2}

f''(x) = 0 \;\Longleftrightarrow\; x^{2} = 1 \;\Longleftrightarrow\; x = \pm 1

En $(-\infty, -1)$ : $\;1 - x^{2} < 0$ , luego $f'' < 0$ : $f$ es cóncava ( $\cap$ ).
En $(-1, 1)$ : $\;1 - x^{2} > 0$ , luego $f'' > 0$ : $f$ es convexa ( $\cup$ ).
En $(1, +\infty)$ : $\;f'' < 0$ : $f$ es cóncava ( $\cap$ ).

Puntos de inflexión. En

x = -1

x = 1

la segunda derivada se anula y cambia de signo, así que ambos son puntos de inflexión. Sus ordenadas:

f(\pm 1) = \ln\bigl(1 + 1\bigr) = \ln 2 \approx 0{,}693

Los puntos de inflexión son

(-1,\, \ln 2) \qquad \text{y} \qquad (1,\, \ln 2)

(Coherente con la paridad de $f$ : los dos puntos son simétricos respecto del eje $OY$ y tienen la misma altura.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Aprovecha que los denominadores son positivos siempre: el signo de $f'$ y de $f''$ lo deciden solo los numeradores, $2x$ y $2(1-x^{2})$ . Montar una tabla de signos con el denominador incluido no está mal, pero es trabajo de más y una fuente extra de errores.

Para declarar un punto de inflexión no basta con que $f''$ se anule: tiene que cambiar de signo. Aquí lo hace en los dos, pero decirlo explícitamente es lo que completa el razonamiento (hay funciones, como $x^{4}$ en $x=0$ , donde $f''=0$ y no hay inflexión).