Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2023 · Reserva 1

Enunciado

Ejercicio 4 (bloque A). Considera la función

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

definida por

f(x) = x^{2} + 1

.

a) [0,75 puntos] Determina el punto de la gráfica de

f

en el que la recta tangente es

y = 4x - 3

.

b) [1,75 puntos] Haz un esbozo del recinto limitado por la gráfica de

f

, la recta

y = 4x - 3

y el eje de ordenadas. Calcula el área del recinto indicado.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad (2, 5)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad A = \int_{0}^{2}\bigl(x-2\bigr)^{2}\,dx = \frac{8}{3} \approx 2{,}67 \ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a), "la recta tangente es

y = 4x-3

" da la pendiente: basta imponer

f'(x) = 4

.

En b) aparece un detalle bonito: al ser la recta tangente a la parábola, la diferencia

f(x) - (4x-3)

es un cuadrado perfecto, así que no cambia de signo y no hace falta partir la integral. El tercer lado del recinto es el eje

OY

, es decir

x = 0

, que fija el límite inferior de integración.

Desarrollo

a) Punto de tangencia.

f'(x) = 2x = 4 \;\Longrightarrow\; x = 2, \qquad f(2) = 2^{2} + 1 = 5

El punto es

(2, 5)

.

(Verificación: la tangente en $x=2$ es $y = 5 + 4(x-2) = 4x - 3$ . Coincide con la recta del enunciado, así que es efectivamente tangente y no una secante cualquiera.)

b) El recinto. La parábola

y = x^{2}+1

tiene vértice en

(0,1)

y la recta

y = 4x - 3

corta al eje

OY

(0,-3)

. Ambas se tocan en

(2,5)

. El recinto queda limitado:

por arriba, por la parábola;
por abajo, por la recta;
por la izquierda, por el eje $OY$ ( $x = 0$ );
y se cierra por la derecha en el punto de tangencia $x = 2$ , donde las dos curvas se juntan.

Diferencia de funciones.

f(x) - (4x - 3) = x^{2} + 1 - 4x + 3 = x^{2} - 4x + 4 = (x - 2)^{2}

Es un cuadrado: siempre $\geq 0$ , con igualdad solo en

x=2

. Confirma que la parábola va por encima en todo

[0,2]

y que el único contacto es el punto de tangencia.

Área.

A = \int_{0}^{2} (x-2)^{2}\,dx = \left[\frac{(x-2)^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = \frac{0^{3}}{3} - \frac{(-2)^{3}}{3} = 0 + \frac{8}{3} = \frac{8}{3}

A = \frac{8}{3} \approx 2{,}67 \ \text{unidades cuadradas}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El "eje de ordenadas" es el eje $OY$ , o sea $x = 0$ : ese es el límite inferior de integración. Si lo confundes con el eje de abscisas te pones a buscar cortes con $y = 0$ y el recinto que sale es otro.

Aprovecha que la recta es tangente: la diferencia $f(x) - r(x)$ tiene una raíz doble en el punto de tangencia, así que es un cuadrado perfecto y no cambia de signo. Eso te ahorra estudiar en qué tramos va cada función por encima, que es de donde salen la mayoría de los errores en los problemas de áreas.