Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Optimización

Andalucía · 2022 · Reserva 1

Enunciado

Ejercicio 2 (bloque A). Se quiere cercar un trozo de terreno como el de la figura, de modo que el área del recinto central rectangular sea de

\dfrac{200}{\pi}

metros cuadrados. Sabiendo que el coste de la cerca que se puede poner en los tramos rectos es de

10

euros por metro lineal, y en los tramos circulares de

20

euros por metro lineal, calcula las dimensiones

a

b

del terreno para las que se minimiza el coste del cercado.

Terreno con forma de estadio: un rectángulo central de base a y altura b, rematado por dos semicírculos de diámetro b

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;C(b) = \frac{4000}{\pi b} + 20\pi b\;}

\boxed{\;a = 10\sqrt{2} \approx 14{,}14 \ \text{m}, \qquad b = \frac{10\sqrt{2}}{\pi} \approx 4{,}50 \ \text{m}\;}

\boxed{\;\text{Coste mínimo} = 400\sqrt{2} \approx 565{,}69 \ \text{euros}\;}

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Estrategia

Antes de derivar nada hay que leer la figura y traducirla:

El recinto central rectangular mide $a$ de ancho y $b$ de alto, luego su área es $a\,b = \dfrac{200}{\pi}$ . Esa es la ligadura.
Los tramos rectos son los dos lados horizontales, de longitud $a$ cada uno: en total $2a$ metros.
Los tramos circulares son los dos semicírculos de los extremos, cada uno de diámetro $b$ . Juntos forman una circunferencia completa de diámetro $b$ , es decir, $\pi b$ metros.

Con eso, la función de coste sale sola, se elimina una variable con la ligadura y se deriva. Lo único delicado es no confundir el diámetro con el radio en la longitud de la circunferencia.

Desarrollo

Función de coste.

C = 10\cdot(\text{tramos rectos}) + 20\cdot(\text{tramos circulares}) = 10\,(2a) + 20\,(\pi b) = 20a + 20\pi b

Ligadura.

a\,b = \frac{200}{\pi} \;\Longrightarrow\; a = \frac{200}{\pi\,b}

Función de una variable.

C(b) = 20\cdot\frac{200}{\pi b} + 20\pi b = \frac{4000}{\pi b} + 20\pi b, \qquad b > 0

Derivada.

C'(b) = -\frac{4000}{\pi b^{2}} + 20\pi

C'(b) = 0 \;\Longrightarrow\; 20\pi = \frac{4000}{\pi b^{2}} \;\Longrightarrow\; b^{2} = \frac{4000}{20\pi^{2}} = \frac{200}{\pi^{2}}

b = \frac{\sqrt{200}}{\pi} = \frac{10\sqrt{2}}{\pi} \approx 4{,}50 \ \text{m}

Comprobación de que es mínimo.

C''(b) = \frac{8000}{\pi b^{3}} > 0 \quad \text{para todo } b > 0 \;\Longrightarrow\; \text{mínimo}

(y al ser

C

convexa en todo el dominio, el mínimo es absoluto).

La otra dimensión.

a = \frac{200}{\pi b} = \frac{200}{\pi\cdot\dfrac{10\sqrt{2}}{\pi}} = \frac{200}{10\sqrt{2}} = \frac{20}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2} \approx 14{,}14 \ \text{m}

Comprobación de la ligadura.

a\,b = 10\sqrt{2}\cdot\frac{10\sqrt{2}}{\pi} = \frac{200}{\pi} \quad \checkmark

Coste mínimo.

C = 20\cdot 10\sqrt{2} + 20\pi\cdot\frac{10\sqrt{2}}{\pi} = 200\sqrt{2} + 200\sqrt{2} = 400\sqrt{2} \approx 565{,}69 \ \text{euros}

(Curioso y útil como control: en el óptimo los dos sumandos del coste —el de los tramos rectos y el de los circulares— valen exactamente lo mismo, $200\sqrt{2}$ euros cada uno.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Los dos semicírculos de los extremos suman una circunferencia entera de diámetro $b$ , es decir $\pi b$ metros. El error habitual es escribir $2\pi b$ (confundiendo diámetro con radio) o $\pi b/2$ (contando un solo semicírculo). Dibuja mentalmente cómo encajan las dos mitades antes de escribir la fórmula.

Y no incluyas los segmentos verticales de trazo discontinuo de la figura: son solo cotas para marcar dónde acaba el rectángulo central, no cerca que haya que pagar. Lo que se cerca es el contorno exterior del terreno.