Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

Andalucía · 2019 · Reserva 3 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Se sabe que la función

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

, dada por

f(x) = \begin{cases} x^{2} - a\,x + 2b & \text{si } x \leq 0 \\[6pt] \dfrac{\ln(x+1)}{x} & \text{si } x > 0\end{cases}

(

\ln

denota la función logaritmo neperiano) es derivable. Calcula

a

b

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Continuidad: } 2b = \lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln(1+x)}{x} = 1 \;\Longrightarrow\; b = \tfrac12\;}

\boxed{\;\text{Derivabilidad: } f'(0^{-}) = -a \;\text{ y }\; f'(0^{+}) = -\tfrac12 \;\Longrightarrow\; a = \tfrac12\;}

\boxed{\;a = \frac{1}{2}, \qquad b = \frac{1}{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Derivabilidad en

x=0

son dos condiciones: continuidad e igualdad de derivadas laterales.

La rama de la derecha no está definida en

x=0

, así que ambos valores se obtienen como límites, y los dos son indeterminados de tipo

\frac00

$\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln(1+x)}{x} = 1$ (límite notable, o L'Hôpital una vez).
$\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}} f'(x)$ requiere derivar el cociente y aplicar L'Hôpital otra vez.

Cada condición despeja una incógnita: la continuidad da

b

y la derivabilidad da

a

Desarrollo

Continuidad en $x=0$ . Por la izquierda,

f(0) = 0^{2} - a\cdot 0 + 2b = 2b

Por la derecha,

\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln(1+x)}{x} \;\overset{0/0}{=}\; \lim_{x\to 0^{+}}\frac{\frac{1}{1+x}}{1} = 1

2b = 1 \;\Longrightarrow\; b = \frac{1}{2}

Derivada por la izquierda.

f'(x) = 2x - a \quad (x<0) \;\Longrightarrow\; f'(0^{-}) = -a

Derivada por la derecha. Para

x > 0

f'(x) = \frac{\dfrac{x}{1+x} - \ln(1+x)}{x^{2}}

cuyo límite en

0^{+}

es otra vez

\frac00

. (Obtener $f'(0^{+})$ como $\lim_{x\to 0^{+}} f'(x)$ es legítimo porque, con $b=\tfrac12$ , $f$ ya es continua en $0$ : si ese límite existe, coincide con la derivada lateral, por el teorema del valor medio.) Aplicando L'Hôpital:

\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\dfrac{1}{(1+x)^{2}} - \dfrac{1}{1+x}}{2x}

El numerador se simplifica a

\dfrac{1 - (1+x)}{(1+x)^{2}} = \dfrac{-x}{(1+x)^{2}}

, luego

\lim_{x\to 0^{+}}\frac{-x}{2x\,(1+x)^{2}} = \lim_{x\to 0^{+}}\frac{-1}{2\,(1+x)^{2}} = -\frac{1}{2}

f'(0^{+}) = -\frac{1}{2}

Igualando las derivadas laterales.

-a = -\frac{1}{2} \;\Longrightarrow\; a = \frac{1}{2}

a = \frac{1}{2}, \qquad b = \frac{1}{2}

(Comprobación con el desarrollo en serie: $\dfrac{\ln(1+x)}{x} = 1 - \dfrac{x}{2} + \dfrac{x^{2}}{3} - \cdots$ , cuyo valor en $0$ es $1$ y cuya pendiente es $-\tfrac12$ ; y la rama izquierda, con $a = b = \tfrac12$ , es $x^{2} - \tfrac{x}{2} + 1$ , que en $0$ vale $1$ y tiene pendiente $-\tfrac12$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Impón las condiciones en orden: primero continuidad (da $b$ ) y después derivabilidad (da $a$ ). Aquí cada una despeja una incógnita por separado, así que no hace falta montar ningún sistema.

El $2b$ del enunciado está para despistar: la continuidad da $2b = 1$ , luego $b = \tfrac12$ , no $b = 1$ . Es un descuido caro y muy fácil de cometer.

Ten memorizado $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x} = 1$ y, mejor aún, el desarrollo $\frac{\ln(1+x)}{x} = 1 - \frac{x}{2} + \cdots$ : te da de golpe el valor ( $1$ ) y la pendiente ( $-\tfrac12$ ) en $0$ , que es exactamente lo que pide el ejercicio.