Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2013 · Reserva 4 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. Sea

g : (0,+\infty)\to\mathbb{R}

la función definida por

g(x) = \bigl\lvert\ln(x)\bigr\rvert

(donde

\ln

denota el logaritmo neperiano).

a) [1,25 puntos] Esboza el recinto limitado por la gráfica de

g

y la recta

y = 1

. Calcula los puntos de corte entre ellas.

b) [1,25 puntos] Calcula el área del recinto anterior.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;g(x) = \ln x \text{ si } x\geq1; \quad g(x) = -\ln x \text{ si } 0<x<1 \quad (\text{"V" con vértice } (1,0))\;}

\boxed{\;\text{a) } \lvert\ln x\rvert = 1 \;\Longrightarrow\; x = \frac1e \ \text{ y } \ x = e\;}

\boxed{\;A = \int_{1/e}^{1}(1+\ln x)dx+\int_{1}^{e}(1-\ln x)dx = \frac1e+(e-2)\;}

\boxed{\;A = e+\frac1e-2 \approx 1{,}09 \ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Valor absoluto

\Rightarrow

función a trozos:

g(x) = \begin{cases} \ln x & \text{si } x\geq1 \\ -\ln x & \text{si } 0<x<1\end{cases}

La gráfica es una "V" con el vértice en

(1,0)

: la rama de

\ln x

para

x>1

y su reflejo para

0<x<1

.

Los cortes con

y=1

salen de dos ecuaciones, y las dos tienen solución. Para el área hay que partir la integral en $x=1$ , donde cambia la rama, e integrar

1-g(x)

(la recta va por encima).

La primitiva clave es

\;\int\ln x\,dx = x\ln x-x

Desarrollo

a) Los puntos de corte.

\bigl\lvert\ln x\bigr\rvert = 1 \;\Longrightarrow\; \begin{cases} \ln x = 1 \;\Longrightarrow\; x = e \\[4pt] \ln x = -1 \;\Longrightarrow\; x = e^{-1} = \dfrac1e\end{cases}

\left(\frac1e,\; 1\right) \qquad \text{y} \qquad (e,\; 1)

El recinto. Entre

x = \frac1e

x = e

, la recta

y=1

va por encima de la "V" (en

x=1

1 > 0

), y las dos se tocan en los extremos.

b) El área. Partiendo en

x=1

A = \int_{1/e}^{1}\bigl[1-(-\ln x)\bigr]dx+\int_{1}^{e}\bigl[1-\ln x\bigr]dx = \int_{1/e}^{1}\bigl(1+\ln x\bigr)dx+\int_{1}^{e}\bigl(1-\ln x\bigr)dx

Primer tramo. Como

\int\ln x\,dx = x\ln x-x

, los términos

+x

-x

se cancelan:

\int_{1/e}^{1}\bigl(1+\ln x\bigr)dx = \Bigl[x+x\ln x-x\Bigr]_{1/e}^{1} = \Bigl[x\ln x\Bigr]_{1/e}^{1}

= (1\cdot 0)-\left(\frac1e\cdot(-1)\right) = \frac{1}{e}

Segundo tramo.

\int_{1}^{e}\bigl(1-\ln x\bigr)dx = \Bigl[x-x\ln x+x\Bigr]_{1}^{e} = \Bigl[2x-x\ln x\Bigr]_{1}^{e}

= \bigl(2e-e\bigr)-\bigl(2-0\bigr) = e-2

El área total.

A = \frac1e+e-2 = e+\frac1e-2 \approx 2{,}718+0{,}368-2 = 1{,}086 \ \text{u}^{2}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Plantea las dos ecuaciones de corte, $\ln x = 1$ y $\ln x = -1$ : aquí ambas tienen solución, y quedarte con una sola te deja medio recinto.

Parte la integral en $x=1$ : ahí cambia la expresión de $g$ . Integrar de $\frac1e$ a $e$ de una sola vez da un resultado erróneo.

En el primer tramo la primitiva se simplifica a $x\ln x$ (los $\pm x$ se cancelan). Simplificar antes de sustituir ahorra cuentas, y recuerda que $\ln\frac1e = -1$ .