Límites y continuidad

a) Continuidad en $x = -1$.$$\lim_{x \to -1^{-}} f(x) = \frac{1}{-1} = -1, \qquad \lim_{x \to -1^{+}} f(x) = f(-1) = -a + b$$$$-a + b = -1$$Continuidad en $x = 1$.$$\lim_{x \to 1^{-}} f(x) = a + b, \qquad \lim_{x \to 1^{+}} f(x) = f(1) = \frac{1^{2}}{1 + 1} = \frac{1}{2}$$$$a + b = \frac{1}{2}$$Sistema. Sumando las dos ecuaciones se elimina $a$:$$2b = -1 + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \;\Longrightarrow\; b = -\frac{1}{4}$$$$a = \frac{1}{2} - b = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$b) Asíntotas verticales. No hay ninguna. El enunciado afirma que $f$ es continua en $\mathbb{R}$, y los únicos candidatos serían los ceros de los denominadores: $x = 0$ (de $1/x$) y $x = -1$ (de $x^{2}/(x+1)$). Pero $x = 0$ no está en el trozo $x < -1$, y $x = -1$ no está en el trozo $x \geq 1$: ninguno de los dos llega a usarse.

Asíntota cuando $x \to -\infty$. Ahí gobierna el primer trozo:$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0^{-}$$Hay asíntota horizontal $y = 0$ por la izquierda, y la gráfica se acerca a ella por debajo (porque $1/x < 0$ para $x$ negativo).

Asíntota cuando $x \to +\infty$. Ahora gobierna el tercer trozo. Como el grado del numerador supera en uno al del denominador, hay asíntota oblicua. La forma más rápida es dividir:$$\frac{x^{2}}{x + 1} = x - 1 + \frac{1}{x + 1}$$Como $\dfrac{1}{x+1} \to 0$ cuando $x \to +\infty$, la recta$$y = x - 1$$es asíntota oblicua por la derecha, y la gráfica queda por encima de ella (el resto $1/(x+1)$ es positivo).

(Con la fórmula estándar sale lo mismo: $m = \lim \frac{f(x)}{x} = \lim \frac{x^{2}}{x(x+1)} = 1$ y $n = \lim\left(\frac{x^{2}}{x+1} - x\right) = \lim \frac{-x}{x+1} = -1$.)