Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2023 · Reserva 2

Enunciado

Ejercicio 2 (bloque A). Considera la función

f(x) = \dfrac{1}{x\,|x|}

, para

x \neq 0

.

a) [1 punto] Calcula los intervalos de concavidad y de convexidad de

f

, así como los puntos de inflexión de su gráfica, si existen.

b) [1,5 puntos] Estudia y calcula las asíntotas de la función. Esboza su gráfica.

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Resultado

\boxed{\;\text{a) Cóncava en } (-\infty, 0), \quad \text{convexa en } (0, +\infty); \quad \textbf{sin puntos de inflexión}\;}

\boxed{\;\text{b) Asíntota vertical } x = 0 \; \text{y asíntota horizontal } y = 0\;}

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Estrategia

Como siempre que aparece un valor absoluto, lo primero es escribir la función a trozos. Aquí el resultado es especialmente cómodo:

x|x| = \begin{cases} x^{2} & \text{si } x > 0 \\ -x^{2} & \text{si } x < 0 \end{cases}

Con eso,

f

se convierte en dos funciones potenciales conocidas, una en cada semirrecta, y todo (derivadas, límites, asíntotas) se calcula por separado.

Ojo con un detalle que a menudo se contesta mal:

x = 0

no pertenece al dominio, así que no puede ser punto de inflexión aunque la curvatura cambie de un lado al otro.

Desarrollo

Expresión a trozos.

f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{x^{2}} = x^{-2} & \text{si } x > 0 \\[8pt] -\dfrac{1}{x^{2}} = -x^{-2} & \text{si } x < 0 \end{cases}

(La función es impar: $f(-x) = -f(x)$ . Basta estudiar $x>0$ y reflejar.)

a) Curvatura. Para

x > 0

f'(x) = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^{3}}, \qquad f''(x) = 6x^{-4} = \frac{6}{x^{4}} > 0

Para

x < 0

f'(x) = 2x^{-3} = \frac{2}{x^{3}}, \qquad f''(x) = -6x^{-4} = -\frac{6}{x^{4}} < 0

Por tanto:

En $(-\infty, 0)$ : $f'' < 0$ , la función es cóncava (curvada hacia abajo, $\cap$ ).
En $(0, +\infty)$ : $f'' > 0$ , la función es convexa (curvada hacia arriba, $\cup$ ).

Puntos de inflexión. La segunda derivada nunca se anula (

6/x^{4} \neq 0

para todo

x \neq 0

), y el único sitio donde cambia el signo de la curvatura es

x = 0

, que no está en el dominio. Conclusión: no hay puntos de inflexión.

b) Asíntotas verticales. El único candidato es

x = 0

\lim_{x\to 0^{+}} \frac{1}{x^{2}} = +\infty, \qquad \lim_{x\to 0^{-}} \left(-\frac{1}{x^{2}}\right) = -\infty

Hay asíntota vertical $x = 0$ , con ramas hacia

+\infty

por la derecha y hacia

-\infty

por la izquierda.

Asíntotas horizontales.

\lim_{x\to +\infty} \frac{1}{x^{2}} = 0^{+}, \qquad \lim_{x\to -\infty} \left(-\frac{1}{x^{2}}\right) = 0^{-}

Hay asíntota horizontal $y = 0$ en las dos direcciones, aproximándose por arriba en

+\infty

y por abajo en

-\infty

.

Asíntotas oblicuas. No hay: al existir asíntota horizontal en ambos extremos, quedan descartadas.

Esbozo. La gráfica tiene dos ramas:

Para $x > 0$ : siempre positiva y decreciente ( $f' = -2/x^{3} < 0$ ), baja desde $+\infty$ (junto al eje $OY$ ) hasta pegarse al eje $OX$ por encima.
Para $x < 0$ : siempre negativa y decreciente también ( $f' = 2/x^{3} < 0$ cuando $x<0$ ), viene desde el eje $OX$ por debajo y se hunde hacia $-\infty$ al acercarse a $0$ por la izquierda.

Es la gráfica de

1/x^{2}

en el primer cuadrante y su reflexión respecto del origen en el tercero.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El punto donde cambia la curvatura, $x = 0$ , no es un punto de inflexión porque la función ni siquiera está definida ahí. Un punto de inflexión tiene que ser un punto de la gráfica; si el enunciado te pregunta "si existen", muchas veces es porque no existen.

Y no te fíes de la apariencia: aunque $f$ se parezca a $1/x^{2}$ , no es par sino impar, porque el $|x|$ del denominador le cambia el signo a la rama negativa. Escribe siempre la función a trozos antes de derivar; si derivas $1/(x|x|)$ tratando $|x|$ como si fuera $x$ , la rama izquierda te sale al revés.