Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Optimización

Andalucía · 2011 · Reserva 5 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Un alambre de

100\ \text{m}

de longitud se divide en dos trozos. Con uno de los trozos se construye un cuadrado y con el otro un rectángulo cuya base es doble que su altura.

Calcula las longitudes de cada uno de los trozos con la condición de que la suma de las áreas de estas dos figuras sea mínima.

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Resultado

\boxed{\;\text{Cuadrado: perímetro } x \Rightarrow \text{área } \tfrac{x^{2}}{16}\;}

\boxed{\;\text{Rect. } (2h\times h): \ 6h = 100-x \Rightarrow \text{área } 2h^{2} = \tfrac{(100-x)^{2}}{18}\;}

\boxed{\;S'(x) = \frac{x}{8}-\frac{100-x}{9} = 0 \Rightarrow 17x = 800 \quad (S'' = \tfrac{17}{72}>0)\;}

\boxed{\;\text{Trozos: } \tfrac{800}{17}\approx47{,}06\ \text{m y } \tfrac{900}{17}\approx52{,}94\ \text{m}\;}

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Estrategia

Llamamos

x

a la longitud del trozo con el que se hace el cuadrado; el otro mide

100-x

.

Cada trozo es el perímetro de su figura, así que hay que traducirlo a dimensiones:

Cuadrado: perímetro $x$ $\Rightarrow$ lado $\dfrac{x}{4}$ $\Rightarrow$ área $\dfrac{x^{2}}{16}$ .
Rectángulo de altura $h$ y base $2h$ : perímetro $2\,(2h+h) = 6h = 100-x$ $\Rightarrow$ $h = \dfrac{100-x}{6}$ $\Rightarrow$ área $2h^{2}$ .

Desarrollo

Las áreas.

A_{\text{cuad}} = \left(\frac{x}{4}\right)^{2} = \frac{x^{2}}{16}

6h = 100-x \;\Longrightarrow\; h = \frac{100-x}{6} \;\Longrightarrow\; A_{\text{rect}} = 2h^{2} = 2\cdot\frac{(100-x)^{2}}{36} = \frac{(100-x)^{2}}{18}

La función a minimizar.

S(x) = \frac{x^{2}}{16}+\frac{(100-x)^{2}}{18}, \qquad 0<x<100

Derivamos.

S'(x) = \frac{2x}{16}-\frac{2\,(100-x)}{18} = \frac{x}{8}-\frac{100-x}{9}

S'(x) = 0 \;\Longrightarrow\; 9x = 8\,(100-x) \;\Longrightarrow\; 9x = 800-8x \;\Longrightarrow\; 17x = 800

x = \frac{800}{17} \approx 47{,}06 \ \text{m}

Es mínimo:

S''(x) = \frac18+\frac19 = \frac{17}{72} > 0 \;\checkmark

Los dos trozos.

\textbf{Cuadrado: } \frac{800}{17}\approx47{,}06\ \text{m} \qquad \textbf{Rectángulo: } \frac{900}{17}\approx52{,}94\ \text{m}

Las figuras.

\text{lado del cuadrado} = \frac{200}{17}\approx11{,}76\ \text{m}

h = \frac{150}{17}\approx8{,}82\ \text{m}, \qquad \text{base} = \frac{300}{17}\approx17{,}65\ \text{m}

S_{\min} = \frac{5000}{17} \approx 294{,}12 \ \text{m}^{2}

Comprobación:

\;\frac{800}{17}+\frac{900}{17} = \frac{1700}{17} = 100

\;\checkmark

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Consejo

Cada trozo de alambre es un perímetro, no un lado. El error clásico es escribir el área del cuadrado como $x^{2}$ en vez de $\left(\frac{x}{4}\right)^{2}$ .

Para el rectángulo, el perímetro es $2\,(\text{base}+\text{altura}) = 2(2h+h) = 6h$ , no $3h$ . Escribe la relación completa antes de despejar.

Justifica que es mínimo con $S''>0$ . En estos problemas de "suma de dos cuadrados" la segunda derivada siempre es positiva y constante: es el argumento más limpio.