Opción A · Ejercicio 1. Sea g la función definida por g(x) = \dfrac{m\,x^{3}}{(x-n)^{2}} para x\neq n. a) [1,75 puntos] Halla m y n sabiendo que la recta y = 2x-4 es una asíntota de la gráfica de g. b) [0,75 puntos] Determina si la gráfica de g es simétrica respecto al origen.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2013 · Reserva 1 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. Sea

g

la función definida por

g(x) = \dfrac{m\,x^{3}}{(x-n)^{2}}

para

x\neq n

.

a) [1,75 puntos] Halla

m

n

sabiendo que la recta

y = 2x-4

es una asíntota de la gráfica de

g

.

b) [0,75 puntos] Determina si la gráfica de

g

es simétrica respecto al origen.

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Resultado

\boxed{\;g(x) = m x+2mn+\frac{3mn^{2}x-2mn^{3}}{(x-n)^{2}} \;\Longrightarrow\; \text{asíntota oblicua } y = m x+2mn\;}

\boxed{\;m = 2 \ \text{ y } \ 2mn = -4 \;\Longrightarrow\; n = -1: \quad g(x) = \frac{2x^{3}}{(x+1)^{2}}\;}

\boxed{\;g(-x) = \frac{-2x^{3}}{(x-1)^{2}} \neq \frac{-2x^{3}}{(x+1)^{2}} = -g(x)\;}

\boxed{\;\textbf{No es simétrica respecto al origen}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) $y = 2x-4$ es una recta no horizontal, así que es una asíntota oblicua. En un cociente de polinomios con grados $3$ y $2$ , la asíntota oblicua es el cociente de la división:

\frac{m x^{3}}{(x-n)^{2}} = \bigl(\text{cociente}\bigr)+\frac{\text{resto}}{(x-n)^{2}}

Se hace la división y se identifica el cociente con

2x-4

: dos coeficientes, dos incógnitas.

b) Simétrica respecto al origen $\iff$ la función es impar: $g(-x) = -g(x)$ para todo $x$ del dominio. Basta comprobarlo con la expresión ya concreta.

Desarrollo

a) La división. Desarrollando

(x-n)^{2} = x^{2}-2nx+n^{2}

y dividiendo

m x^{3}

entre él:

m x^{3} = \bigl(x^{2}-2nx+n^{2}\bigr)\bigl(m x+2mn\bigr)+\bigl(3mn^{2}x-2mn^{3}\bigr)

\Longrightarrow \quad g(x) = \underbrace{m x+2mn}_{\text{asíntota oblicua}}+\frac{3mn^{2}x-2mn^{3}}{(x-n)^{2}}

Identificando con $y = 2x-4$ :

\begin{cases} m = 2 \\ 2mn = -4\end{cases} \;\Longrightarrow\; 2\cdot2\cdot n = -4 \;\Longrightarrow\; n = -1

m = 2, \qquad n = -1 \qquad\Longrightarrow\qquad g(x) = \frac{2x^{3}}{(x+1)^{2}}

Comprobación de la pendiente.

\lim_{x\to\infty}\frac{g(x)}{x} = \lim_{x\to\infty}\frac{2x^{3}}{x\,(x+1)^{2}} = 2 \;\checkmark

\lim_{x\to\infty}\bigl[g(x)-2x\bigr] = \lim_{x\to\infty}\frac{2x^{3}-2x\,(x+1)^{2}}{(x+1)^{2}} = \lim_{x\to\infty}\frac{-4x^{2}-2x}{x^{2}+2x+1} = -4 \;\checkmark

b) ¿Es impar?

g(-x) = \frac{2\,(-x)^{3}}{(-x+1)^{2}} = \frac{-2x^{3}}{(1-x)^{2}} = \frac{-2x^{3}}{(x-1)^{2}}

-g(x) = \frac{-2x^{3}}{(x+1)^{2}}

Los denominadores son distintos (

(x-1)^{2}

frente a

(x+1)^{2}

), luego

g(-x) \neq -g(x)

Contraejemplo concreto. En

x = 1

g(-1) \text{ no existe} \quad (\text{es la asíntota vertical}) \qquad -g(1) = -\frac{2}{4} = -\frac12

\textbf{La gráfica NO es simétrica respecto al origen}

(De hecho, el propio dominio no es simétrico: falta $x=-1$ pero no $x=1$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Con grados $3$ y $2$ , la asíntota oblicua es el cociente de la división polinómica. También se puede obtener con $m = \lim\frac{g(x)}{x}$ y $b = \lim[g(x)-mx]$ , pero la división da los dos coeficientes de golpe.

"Simétrica respecto al origen" significa función impar: $g(-x) = -g(x)$ . No lo confundas con la simetría respecto del eje $OY$ , que sería $g(-x) = g(x)$ .

Para demostrar que no hay simetría basta un contraejemplo. Aquí el más rotundo es el dominio: $g$ no está definida en $x=-1$ pero sí en $x=1$ , así que ni siquiera puede ser impar.