Opción A · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Una imprenta recibe un encargo para realizar una tarjeta rectangular con las siguientes características: la superficie rectangular que debe ocupar la zona impresa debe ser de 100 cm^{2}, el margen superior tiene que ser de 2 cm, el inferior de 3 cm y los laterales de 5 cm cada uno. Calcula, si es posible, las dimensiones que debe tener la tarjeta de forma que se utilice la menor cantidad de papel posible.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Optimización

Andalucía · 2017 · Septiembre · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Una imprenta recibe un encargo para realizar una tarjeta rectangular con las siguientes características: la superficie rectangular que debe ocupar la zona impresa debe ser de

100

^{2}

, el margen superior tiene que ser de

2

cm, el inferior de

3

cm y los laterales de

5

cm cada uno.

Calcula, si es posible, las dimensiones que debe tener la tarjeta de forma que se utilice la menor cantidad de papel posible.

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Resultado

\boxed{\;b\,h = 100 \;\Longrightarrow\; h = \frac{100}{b}; \qquad S(b) = (b+10)\left(\frac{100}{b}+5\right) = 5b + 150 + \frac{1000}{b}\;}

\boxed{\;S'(b) = 5 - \frac{1000}{b^{2}} = 0 \;\Longrightarrow\; b = 10\sqrt2, \quad h = 5\sqrt2\;}

\boxed{\;\text{Tarjeta: } \bigl(10 + 10\sqrt2\bigr) \times \bigl(5 + 5\sqrt2\bigr) \approx 24{,}14 \times 12{,}07 \ \text{cm}\;}

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Estrategia

Problema clásico de márgenes. La clave está en distinguir dos rectángulos:

La zona impresa, de dimensiones $b\times h$ con la restricción $b\,h = 100$ .
La tarjeta completa, que añade los márgenes: $\;(b + 5 + 5)\times(h + 2 + 3)$ .

Se despeja

h

de la restricción, se sustituye en la superficie de la tarjeta y se minimiza. "La menor cantidad de papel" es el área total de la tarjeta.

Desarrollo

Variables y restricción. Sean

b

(base) y

h

(altura) de la zona impresa:

b\,h = 100 \;\Longrightarrow\; h = \frac{100}{b}

Dimensiones de la tarjeta.

\text{ancho} = b + 10, \qquad \text{alto} = h + 5

(Los laterales suman $5+5 = 10$ ; el superior y el inferior, $2+3 = 5$ .)

Función objetivo.

S(b) = (b+10)\left(\frac{100}{b} + 5\right) = 100 + 5b + \frac{1000}{b} + 50

S(b) = 5b + 150 + \frac{1000}{b}, \qquad b > 0

Derivada y punto crítico.

S'(b) = 5 - \frac{1000}{b^{2}} = 0 \;\Longrightarrow\; b^{2} = 200 \;\Longrightarrow\; b = 10\sqrt{2} \approx 14{,}14 \ \text{cm}

Es mínimo.

S''(b) = \frac{2000}{b^{3}} > 0 \quad \text{para } b>0 \;\Longrightarrow\; \textbf{mínimo}

Las dimensiones.

h = \frac{100}{10\sqrt2} = \frac{10}{\sqrt2} = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07 \ \text{cm}

\text{ancho de la tarjeta} = 10\sqrt2 + 10 \approx 24{,}14 \ \text{cm}

\text{alto de la tarjeta} = 5\sqrt2 + 5 \approx 12{,}07 \ \text{cm}

Superficie mínima.

S = \bigl(10\sqrt2 + 10\bigr)\bigl(5\sqrt2 + 5\bigr) = 50\,\bigl(\sqrt2+1\bigr)^{2} = 150 + 100\sqrt{2} \approx 291{,}4 \ \text{cm}^{2}

(Detalle bonito: el ancho resulta ser exactamente el doble del alto, tanto en la zona impresa como en la tarjeta completa.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Distingue zona impresa y tarjeta: la restricción ( $100$ cm²) es de la primera y lo que se minimiza es la segunda. Confundirlas es el error de planteamiento típico.

Suma bien los márgenes: al ancho se le añaden dos laterales de $5$ (total $10$ ) y al alto, el superior más el inferior ( $2+3 = 5$ ). No son simétricos, así que hay que ir con cuidado.

Y responde lo que se pide: las dimensiones de la tarjeta, no las de la zona impresa. Dar $10\sqrt2 \times 5\sqrt2$ es haber hecho todo el trabajo y equivocarse en la última línea.