Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2021 · Reserva 2

Enunciado

Ejercicio 2 (bloque A). Sea

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

la función definida por

f(x) = \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1}

a) [1,25 puntos] Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de

f

.

b) [1,25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de

f

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad \text{Sin asíntotas verticales}; \quad y = 1 \text{ (en } +\infty), \quad y = -1 \text{ (en } -\infty)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad f'(x) = \frac{4e^{2x}}{\bigl(e^{2x}+1\bigr)^{2}} > 0 \;\Longrightarrow\; \text{creciente en todo } \mathbb{R}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Lo primero es notar que el denominador nunca se anula:

e^{2x} + 1 \geq 1 > 0

para todo

x

. Eso descarta de golpe las asíntotas verticales y dice que el dominio es todo

\mathbb{R}

.

Para las asíntotas horizontales hay que calcular los dos límites, y son distintos: en

+\infty

manda

e^{2x}

(que tiende a infinito) y en

-\infty

manda el

1

(porque

e^{2x} \to 0

). Salen dos asíntotas horizontales, una a cada lado.

En b), la derivada se simplifica de forma espectacular: los términos en

e^{4x}

se cancelan y queda una expresión siempre positiva.

Desarrollo

Dominio y asíntotas verticales. Como

e^{2x} > 0

para todo

x

, se cumple

e^{2x} + 1 > 1 > 0

: el denominador nunca se anula. El dominio es

\mathbb{R}

y no hay asíntotas verticales.

a) Asíntota horizontal en $+\infty$ . Dividiendo numerador y denominador entre

e^{2x}

\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1} = \lim_{x\to+\infty}\frac{1 - e^{-2x}}{1 + e^{-2x}} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1

Asíntota horizontal $y = 1$ por la derecha.

Asíntota horizontal en $-\infty$ . Ahora

e^{2x} \to 0

directamente:

\lim_{x\to-\infty}\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1} = \frac{0 - 1}{0 + 1} = -1

Asíntota horizontal $y = -1$ por la izquierda.

Asíntotas oblicuas. No hay: al existir asíntota horizontal en los dos extremos, quedan descartadas.

b) Derivada. Por la regla del cociente, con

\bigl(e^{2x}\bigr)' = 2e^{2x}

f'(x) = \frac{2e^{2x}\bigl(e^{2x}+1\bigr) - \bigl(e^{2x}-1\bigr)\cdot 2e^{2x}}{\bigl(e^{2x}+1\bigr)^{2}}

Sacando

2e^{2x}

factor común en el numerador:

= \frac{2e^{2x}\Bigl[\bigl(e^{2x}+1\bigr) - \bigl(e^{2x}-1\bigr)\Bigr]}{\bigl(e^{2x}+1\bigr)^{2}} = \frac{2e^{2x}\cdot 2}{\bigl(e^{2x}+1\bigr)^{2}}

f'(x) = \frac{4e^{2x}}{\bigl(e^{2x}+1\bigr)^{2}}

Signo. El numerador es positivo (

4e^{2x} > 0

) y el denominador también (es un cuadrado no nulo), luego

f'(x) > 0 \quad \text{para todo } x \in \mathbb{R}

La función es estrictamente creciente en todo $\mathbb{R}$ . No tiene extremos relativos ni puntos críticos.

(Coherente con las asíntotas: $f$ sube monótonamente desde $-1$ hasta $1$ sin llegar a alcanzarlos nunca. De hecho esta función es la tangente hiperbólica, $f(x) = \operatorname{tgh}(x)$ , y $f'(x) = 1/\cosh^{2}(x)$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Con exponenciales, los límites en $+\infty$ y $-\infty$ se calculan de formas distintas: en $+\infty$ conviene dividir entre $e^{2x}$ , y en $-\infty$ basta sustituir $e^{2x} \to 0$ . Aplicar el mismo procedimiento en los dos lados es lo que lleva a dar una sola asíntota cuando hay dos.

Al derivar, saca factor común $2e^{2x}$ antes de desarrollar: el corchete que queda es $(e^{2x}+1) - (e^{2x}-1) = 2$ , y todo se simplifica. Si desarrollas los productos primero te enfrentas a términos en $e^{4x}$ que acaban cancelándose de todos modos, con muchas más ocasiones de equivocarte.