Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Optimización

Andalucía · 2023 · Reserva 1

Enunciado

Ejercicio 1 (bloque A). Determina las longitudes de los lados de un rectángulo de área máxima que está inscrito en una semicircunferencia de

6

cm de radio, teniendo uno de sus lados sobre el diámetro de ella.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Base } = 6\sqrt{2} \approx 8{,}49 \ \text{cm}, \qquad \text{Altura } = 3\sqrt{2} \approx 4{,}24 \ \text{cm}\;}

\boxed{\;A_{\max} = 36 \ \text{cm}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Problema de optimización con ligadura. El esquema de siempre:

Dibujar y nombrar las variables. Aquí conviene colocar el centro de la semicircunferencia en el origen: el rectángulo queda simétrico y basta una variable.
Escribir la función a maximizar (el área) y la ligadura (el vértice superior está en la circunferencia).
Sustituir y derivar.

El truco que ahorra trabajo: maximizar

A

es lo mismo que maximizar

A^{2}

, porque

A > 0

y la función "elevar al cuadrado" es creciente en los positivos. Y

A^{2}

es un polinomio, mucho más cómodo de derivar que una raíz.

Desarrollo

Planteamiento. Situamos el centro de la semicircunferencia en el origen y el diámetro sobre el eje

OX

. Si el vértice superior derecho del rectángulo es

(x, y)

con

x, y > 0

, entonces por simetría

\text{base} = 2x, \qquad \text{altura} = y, \qquad A = 2xy

Ligadura. El vértice está sobre la circunferencia de radio

6

x^{2} + y^{2} = 36 \;\Longrightarrow\; y = \sqrt{36 - x^{2}}, \qquad 0 < x < 6

Función de una variable.

A(x) = 2x\sqrt{36 - x^{2}}

Maximización. Como

A > 0

, maximizamos

A(x)^{2} = 4x^{2}\bigl(36 - x^{2}\bigr) = 144x^{2} - 4x^{4}

\bigl(A^{2}\bigr)'(x) = 288x - 16x^{3} = 16x\bigl(18 - x^{2}\bigr)

\bigl(A^{2}\bigr)'(x) = 0 \;\Longrightarrow\; x = 0 \;\text{(se descarta)} \quad \text{o} \quad x^{2} = 18 \;\Longrightarrow\; x = 3\sqrt{2}

Comprobación de que es máximo. El factor

16x

es positivo en

(0,6)

, así que el signo de la derivada lo marca

18 - x^{2}

En $\bigl(0, 3\sqrt{2}\bigr)$ : $x^{2} < 18$ , derivada positiva, $A$ crece.
En $\bigl(3\sqrt{2}, 6\bigr)$ : $x^{2} > 18$ , derivada negativa, $A$ decrece.

Luego en

x = 3\sqrt{2}

hay un máximo.

Dimensiones.

y = \sqrt{36 - 18} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}

\text{base} = 2x = 6\sqrt{2} \approx 8{,}49 \ \text{cm}, \qquad \text{altura} = y = 3\sqrt{2} \approx 4{,}24 \ \text{cm}

Área máxima.

A = 6\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{2} = 18\cdot 2 = 36 \ \text{cm}^{2}

(Curiosidad que sirve de comprobación: la base resulta ser exactamente el doble de la altura, y el área máxima, $36 = 6^{2}$ , coincide con el cuadrado del radio.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Cuidado con la variable: si llamas $x$ a la semibase, el área es $2xy$ ; si llamas así a la base entera, la ligadura pasa a ser $(x/2)^{2} + y^{2} = 36$ . Cualquiera de las dos vale, pero mezclarlas es el error número uno de este problema y te deja una base la mitad de larga.

Y la pregunta pide las longitudes de los lados, no el área máxima. Contesta con los dos números ( $6\sqrt{2}$ y $3\sqrt{2}$ ); el área es un extra que conviene añadir, pero no sustituye a la respuesta.