Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2011 · Reserva 5 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. Sea

f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}

la función definida por

f(x) = 4-x^{2}

a) [1 punto] Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = 2

.

b) [1,5 puntos] Determina el punto de la gráfica en el que la recta tangente es perpendicular a la recta

\;x+2y-2 = 0

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f'(x) = -2x; \quad f(2) = 0, \ f'(2) = -4\;}

\boxed{\;\text{a) } m_{n} = -\tfrac{1}{-4} = \tfrac14: \quad y = \tfrac{x-2}{4} \ \ (x-4y-2 = 0)\;}

\boxed{\;x+2y-2 = 0 \Rightarrow m_{r} = -\tfrac12 \Rightarrow m_{t} = 2\;}

\boxed{\;\text{b) } -2x = 2 \Rightarrow x = -1, \ f(-1) = 3: \ \text{ el punto es } (-1,3)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Todo se apoya en la condición de perpendicularidad entre rectas:

m_{1}\cdot m_{2} = -1 \;\Longleftrightarrow\; m_{2} = -\frac{1}{m_{1}}

a) La normal es perpendicular a la tangente, así que su pendiente es $-\dfrac{1}{f'(2)}$ .
b) Se calcula la pendiente de la recta dada, se invierte y se cambia de signo, y se resuelve $f'(x) = m$ .

Desarrollo

La derivada.

f'(x) = -2x

a) La recta normal en $x = 2$ .

f(2) = 4-4 = 0 \;\Longrightarrow\; \text{el punto es } (2,\,0)

f'(2) = -4 \;\Longrightarrow\; m_{\text{tangente}} = -4

m_{\text{normal}} = -\frac{1}{-4} = \frac14

y-0 = \frac14\,(x-2) \;\Longrightarrow\; y = \frac{x-2}{4}

\text{o bien} \qquad x-4y-2 = 0

(Comprobación: $(2,0)$ cumple $2-0-2 = 0$ $\checkmark$ )

b) Tangente perpendicular a $x+2y-2 = 0$ . Despejamos esa recta:

2y = 2-x \;\Longrightarrow\; y = -\frac{x}{2}+1 \;\Longrightarrow\; m_{r} = -\frac12

Para que la tangente sea perpendicular a ella:

m_{\text{tangente}} = -\frac{1}{m_{r}} = -\frac{1}{-\tfrac12} = 2

Imponemos $f'(x) = 2$ :

-2x = 2 \;\Longrightarrow\; x = -1

f(-1) = 4-1 = 3

\text{El punto es } (-1,\,3)

Comprobación. La tangente en

(-1,3)

y-3 = 2\,(x+1) \;\Longrightarrow\; y = 2x+5

y su pendiente cumple

\;2\cdot\left(-\frac12\right) = -1

\;\checkmark

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Consejo

La normal es la perpendicular a la tangente en el punto de tangencia. Su pendiente es $-\frac{1}{f'(a)}$ , no $-f'(a)$ .

Antes de comparar pendientes, escribe la recta dada en la forma explícita $y = mx+n$ . De $x+2y-2 = 0$ sale $m = -\frac12$ , no $m = 1$ ni $m = -1$ .

Comprueba al final que el producto de pendientes vale $-1$ . Es la verificación más rápida y detecta cualquier despiste de signo.