Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

Andalucía · 2010 · Reserva 4 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Considera la función

f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}

definida por

f(x) = \begin{cases} e^{-x} & \text{si } x\leq0 \\[2mm] 1-x^{2} & \text{si } 0<x<1 \\[2mm] \dfrac{2}{x+1} & \text{si } 1\leq x\end{cases}

Estudia su continuidad y derivabilidad. Determina la función derivada de

f

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;x = 0: \ \lim_{0^{-}} = \lim_{0^{+}} = f(0) = 1: \text{ continua}\;}

\boxed{\;x = 1: \ \lim_{1^{-}} = 0 \neq 1 = f(1): \text{ salto}\;}

\boxed{\;f'(0^{-}) = -1 \neq 0 = f'(0^{+}) \;\Longrightarrow\; \text{derivable en } \mathbb{R}\setminus\{0,1\}\;}

\boxed{\;f'(x) = \begin{cases} -e^{-x} & x<0 \\ -2x & 0<x<1 \\ -\frac{2}{(x+1)^{2}} & x>1\end{cases}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Dentro de cada tramo la función es elemental (exponencial, polinómica y racional con denominador no nulo), así que es continua y derivable salvo, quizá, en los empalmes

x=0

x=1

.

En cada empalme:

Continuidad: los dos límites laterales y el valor deben coincidir.
Derivabilidad: además, las derivadas laterales deben coincidir. Y si no hay continuidad, no puede haber derivabilidad.

Desarrollo

Continuidad en $x = 0$ .

\lim_{x\to0^{-}}e^{-x} = e^{0} = 1 \qquad \lim_{x\to0^{+}}\bigl(1-x^{2}\bigr) = 1 \qquad f(0) = e^{0} = 1

\textbf{Continua en } x = 0

Continuidad en $x = 1$ .

\lim_{x\to1^{-}}\bigl(1-x^{2}\bigr) = 0 \qquad \lim_{x\to1^{+}}\frac{2}{x+1} = 1 \qquad f(1) = \frac{2}{2} = 1

0 \neq 1 \;\Longrightarrow\; \textbf{Discontinuidad de salto (finito) en } x = 1

(El salto vale $1-0 = 1$ .)

Continuidad global.

f

es continua en $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ .

Derivabilidad en $x = 0$ . Las derivadas laterales:

f'(0^{-}) = \bigl(-e^{-x}\bigr)\Big|_{x=0} = -1 \qquad f'(0^{+}) = (-2x)\big|_{x=0} = 0

-1 \neq 0 \;\Longrightarrow\; \textbf{No derivable en } x = 0 \quad \text{(punto anguloso)}

Derivabilidad en $x = 1$ . Al no ser continua ahí, tampoco puede ser derivable:

\textbf{No derivable en } x = 1

Derivabilidad global.

f

es derivable en $\mathbb{R}\setminus\{0,1\}$ .

La función derivada.

f'(x) = \begin{cases} -e^{-x} & \text{si } x<0 \\[2mm] -2x & \text{si } 0<x<1 \\[2mm] -\dfrac{2}{(x+1)^{2}} & \text{si } x>1\end{cases}

(La derivada del tercer tramo: $\;\left(\dfrac{2}{x+1}\right)' = 2\cdot\left(-\dfrac{1}{(x+1)^{2}}\right)$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Sin continuidad no hay derivabilidad. En $x=1$ basta con detectar el salto: no hace falta calcular derivadas laterales para concluir que no es derivable.

Cuidado con el signo de $\bigl(e^{-x}\bigr)' = -e^{-x}$ : la regla de la cadena aporta el $-1$ . Es el error que estropea la comparación en $x=0$ .

En la función derivada, los intervalos van con desigualdades estrictas ( $x<0$ , $x>1$ ): en los puntos $0$ y $1$ la derivada no existe, así que no se incluyen.