Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2016 · Reserva 3 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Sea

f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}

la función definida por

f(x) = x^{3}+a\,x^{2}+b\,x+c

. Determina

a

b

c

sabiendo que la gráfica de

f

tiene tangente horizontal en el punto de abscisa

x = 1

y un punto de inflexión en

(-1,5)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f'(x) = 3x^{2}+2ax+b, \qquad f''(x) = 6x+2a\;}

\boxed{\;f''(-1)=0 \Rightarrow a = 3; \quad f'(1)=0 \Rightarrow b = -9; \quad f(-1)=5 \Rightarrow c = -6\;}

\boxed{\;f(x) = x^{3}+3x^{2}-9x-6\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Tres incógnitas

\Rightarrow

hacen falta tres ecuaciones. El enunciado da exactamente tres condiciones, aunque una viene "escondida":

Tangente horizontal en $x=1$ : $f'(1) = 0$ .
Punto de inflexión en $(-1,5)$ : son dos datos en uno.

f''(-1) = 0

(es inflexión),
-

f(-1) = 5

(pasa por ese punto).

Conviene resolver en el orden

f''\to f'\to f

: cada ecuación introduce una incógnita nueva y no hay que resolver ningún sistema.

Desarrollo

Las derivadas.

f(x) = x^{3}+a x^{2}+b x+c

f'(x) = 3x^{2}+2a x+b \qquad f''(x) = 6x+2a

1) Inflexión en $x=-1$ : $f''(-1) = 0$ . Solo aparece

a

6(-1)+2a = -6+2a = 0 \;\Longrightarrow\; a = 3

2) Tangente horizontal en $x=1$ : $f'(1) = 0$ . Con

a=3

3+2a+b = 3+6+b = 0 \;\Longrightarrow\; b = -9

3) Pasa por $(-1,5)$ : $f(-1) = 5$ . Con

a=3

b=-9

(-1)^{3}+3(-1)^{2}+(-9)(-1)+c = -1+3+9+c = 11+c = 5 \;\Longrightarrow\; c = -6

a = 3, \qquad b = -9, \qquad c = -6

f(x) = x^{3}+3x^{2}-9x-6

Comprobación.

f'(x) = 3x^{2}+6x-9 \;\Longrightarrow\; f'(1) = 3+6-9 = 0 \quad \checkmark

f''(x) = 6x+6 \;\Longrightarrow\; f''(-1) = -6+6 = 0 \quad \checkmark

f(-1) = -1+3+9-6 = 5 \quad \checkmark

(Y es inflexión de verdad: $f''$ cambia de signo en $x=-1$ , pues $f''(x) = 6(x+1)$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"Un punto de inflexión en $(-1,5)$ " son dos condiciones: $f''(-1)=0$ y $f(-1)=5$ . Si solo usas una, te falta una ecuación y el problema parece irresoluble.

Empieza por $f''$ : es la más sencilla y da $a$ de golpe. Luego $f'$ da $b$ y por último $f$ da $c$ . Así se evita montar y resolver un sistema $3\times3$ .

"Tangente horizontal" $\Rightarrow$ $f'=0$ ; ojo, no dice que $x=1$ sea extremo (podría ser un punto de inflexión con tangente horizontal). Para este apartado da igual, pero conviene tener clara la diferencia.