Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

Andalucía · 2022 · Reserva 4

Enunciado

Ejercicio 1 (bloque A). Sea

f

la función continua definida por

f(x) = \begin{cases} \dfrac{e^{\lambda x} - e^{x} - x}{x^{2}} & \text{si } x \neq 0 \\[10pt] \mu & \text{si } x = 0 \end{cases}

a) [1,25 puntos] Calcula

\lambda

\mu

.

b) [1,25 puntos] Para

\lambda = 2

, calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = 1

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad \lambda = 2 \quad \text{(para que el límite sea finito)}, \qquad \mu = \frac{3}{2}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad f(1) = e^{2} - e - 1, \quad f'(1) = e + 1 \;\Longrightarrow\; y = (e+1)\,x + e^{2} - 2e - 2\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Que

f

sea continua en

x = 0

significa que el límite del primer trozo debe existir, ser finito y valer

\mu

.

El denominador es

x^{2}

, un infinitésimo de orden

2

. Para que el cociente tenga límite finito, el numerador tiene que ser también de orden

\geq 2

, es decir, su coeficiente de $x$ debe anularse. Ahí está la ecuación que despeja

\lambda

; después, el coeficiente de

x^{2}

\mu

.

En b) ya no hay parámetros: es una derivada de cociente evaluada en

x = 1

, sin más complicación que ordenar bien los términos.

Desarrollo

a) Desarrollo del numerador. En torno a

x = 0

e^{\lambda x} = 1 + \lambda x + \frac{\lambda^{2}x^{2}}{2} + \cdots, \qquad e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \cdots

N(x) = e^{\lambda x} - e^{x} - x = \bigl(\lambda - 1 - 1\bigr)x + \frac{\lambda^{2} - 1}{2}\,x^{2} + O\!\left(x^{3}\right)

N(x) = (\lambda - 2)\,x + \frac{\lambda^{2}-1}{2}\,x^{2} + O\!\left(x^{3}\right)

Primera condición. Si

\lambda \neq 2

, el numerador sería de orden

1

y el cociente se comportaría como

\dfrac{(\lambda-2)x}{x^{2}} \to \pm\infty

: no habría límite finito y

f

no podría ser continua. Por tanto

\lambda = 2

Segunda condición. Con

\lambda = 2

\mu = \lim_{x\to 0}\frac{N(x)}{x^{2}} = \frac{\lambda^{2}-1}{2} = \frac{4 - 1}{2} = \frac{3}{2}

(Con L'Hôpital sale lo mismo: aplicándolo dos veces a $\dfrac{e^{2x}-e^{x}-x}{x^{2}}$ se llega a $\dfrac{4e^{2x}-e^{x}}{2}$ , que en $x=0$ vale $\dfrac{4-1}{2} = \dfrac{3}{2}$ .)

\lambda = 2, \qquad \mu = \frac{3}{2}

b) Recta tangente en $x = 1$ . Con

\lambda = 2

f(x) = \frac{e^{2x} - e^{x} - x}{x^{2}}

Ordenada.

f(1) = \frac{e^{2} - e - 1}{1} = e^{2} - e - 1 \approx 7{,}389 - 2{,}718 - 1 = 3{,}671

Derivada (regla del cociente):

f'(x) = \frac{\bigl(2e^{2x} - e^{x} - 1\bigr)x^{2} - \bigl(e^{2x} - e^{x} - x\bigr)\cdot 2x}{x^{4}}

Simplificando una

x

f'(x) = \frac{\bigl(2e^{2x} - e^{x} - 1\bigr)x - 2\bigl(e^{2x} - e^{x} - x\bigr)}{x^{3}}

Evaluando en $x = 1$ :

f'(1) = \bigl(2e^{2} - e - 1\bigr) - 2\bigl(e^{2} - e - 1\bigr) = 2e^{2} - e - 1 - 2e^{2} + 2e + 2 = e + 1

f'(1) = e + 1 \approx 3{,}718

Recta tangente.

y - \bigl(e^{2} - e - 1\bigr) = (e+1)\,(x - 1)

y = (e+1)\,x - (e+1) + e^{2} - e - 1 = (e+1)\,x + e^{2} - 2e - 2

Numéricamente,

y \approx 3{,}718\,x - 0{,}048

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

La continuidad no es un dato accesorio, es la ecuación que resuelve el apartado. Y da dos condiciones, no una: primero que el límite exista (que fija $\lambda$ ) y luego que valga $\mu$ . Compara siempre el orden del numerador con el del denominador.

Al derivar el cociente en b), simplifica una $x$ antes de evaluar: pasar de $x^{4}$ a $x^{3}$ en el denominador reduce a la mitad los términos que hay que manejar. Y fíjate en la cancelación de los $2e^{2}$ : si no se te van, revisa el signo del segundo sumando.