Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2024 · Reserva 1

Enunciado

Ejercicio 4 (bloque B). Calcula

\int \frac{e^{3x} - 1}{e^{x} - 3}\,dx

(Sugerencia: efectúa el cambio de variable $t = e^{x}$ .)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\int \frac{e^{3x}-1}{e^{x}-3}\,dx = \frac{e^{2x}}{2} + 3e^{x} + \frac{x}{3} + \frac{26}{3}\ln\left|e^{x}-3\right| + C\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El cambio

t = e^{x}

convierte la integral en una función racional en

t

, y a partir de ahí es el procedimiento estándar: como el grado de arriba es mayor que el de abajo, primero división de polinomios y después fracciones simples.

El detalle técnico que hay que cuidar: al ser

t = e^{x}

, se tiene

dt = e^{x}dx = t\,dx

, luego

dx = \frac{dt}{t}

y esa

t

del denominador se añade al denominador de la fracción. Olvidarla es el fallo más frecuente de los cambios con exponenciales.

Desarrollo

Paso 1: el cambio de variable.

t = e^{x} \;\Longrightarrow\; dt = e^{x}\,dx = t\,dx \;\Longrightarrow\; dx = \frac{dt}{t}

e^{3x} = \bigl(e^{x}\bigr)^{3} = t^{3}

, de modo que

\int \frac{e^{3x}-1}{e^{x}-3}\,dx = \int \frac{t^{3}-1}{t-3}\cdot\frac{dt}{t} = \int \frac{t^{3}-1}{t^{2}-3t}\,dt

Paso 2: división de polinomios. Grado

3

arriba, grado

2

abajo. Dividiendo:

t^{3} - 1 = (t+3)\bigl(t^{2}-3t\bigr) + 9t - 1

(en efecto, $(t+3)(t^{2}-3t) = t^{3}-3t^{2}+3t^{2}-9t = t^{3}-9t$ , y $t^{3}-9t + 9t - 1 = t^{3}-1$ ).

\frac{t^{3}-1}{t^{2}-3t} = t + 3 + \frac{9t-1}{t(t-3)}

Paso 3: fracciones simples.

\frac{9t-1}{t(t-3)} = \frac{A}{t} + \frac{B}{t-3} \;\Longrightarrow\; 9t - 1 = A(t-3) + Bt

t = 0: \ -1 = -3A \;\Longrightarrow\; A = \frac{1}{3} \qquad\qquad t = 3: \ 26 = 3B \;\Longrightarrow\; B = \frac{26}{3}

Paso 4: integrar en $t$ .

\int\left(t + 3 + \frac{1/3}{t} + \frac{26/3}{t-3}\right)dt = \frac{t^{2}}{2} + 3t + \frac{1}{3}\ln|t| + \frac{26}{3}\ln|t-3| + C

Paso 5: deshacer el cambio. Con

t = e^{x}

\ln|e^{x}| = \ln e^{x} = x

, porque la exponencial es positiva):

\int \frac{e^{3x}-1}{e^{x}-3}\,dx = \frac{e^{2x}}{2} + 3e^{x} + \frac{x}{3} + \frac{26}{3}\ln\left|e^{x}-3\right| + C

Comprobación. Derivando y llamando

u = e^{x}

\frac{d}{dx}\left[\cdots\right] = u^{2} + 3u + \frac{1}{3} + \frac{26}{3}\cdot\frac{u}{u-3} = \frac{\left(u^{2}+3u+\frac{1}{3}\right)(u-3) + \frac{26}{3}u}{u-3}

y desarrollando el numerador:

u^{3} - 9u + \frac{u}{3} - 1 + \frac{26}{3}u = u^{3} - \frac{27u}{3} + \frac{u}{3} + \frac{26u}{3} - 1 = u^{3} - 1

luego la derivada es

\dfrac{u^{3}-1}{u-3} = \dfrac{e^{3x}-1}{e^{x}-3}

, como debía ser.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El $dx = \frac{dt}{t}$ es imprescindible: esa $t$ extra en el denominador es lo que convierte $\frac{t^{3}-1}{t-3}$ en $\frac{t^{3}-1}{t^{2}-3t}$ y, con ella, aparece la fracción simple $\frac{1/3}{t}$ que al deshacer el cambio da el término $\frac{x}{3}$ . Sin ese paso el resultado está mal aunque todo lo demás sea correcto.

Y no intentes factorizar $e^{3x}-1 = (e^{x}-1)(e^{2x}+e^{x}+1)$ esperando que se simplifique con $e^{x}-3$ : no comparten factor. El camino es el cambio de variable y la maquinaria de las racionales.