Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Optimización

Andalucía · 2017 · Reserva 1 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Se necesita construir un depósito cilíndrico, con tapas inferior y superior, con capacidad de

20\pi

^{3}

. El material para las tapas cuesta

10

euros cada m

^{2}

y el material para el resto del cilindro

8

euros cada m

^{2}

. Calcula, si existe, el radio de las tapas y la altura del cilindro que hace que el coste total sea mínimo.

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Resultado

\boxed{\;\pi r^{2}h = 20\pi \;\Longrightarrow\; h = \frac{20}{r^{2}}\;}

\boxed{\;C(r) = 10\,(2\pi r^{2}) + 8\,(2\pi r h) = 20\pi r^{2} + \frac{320\pi}{r}\;}

\boxed{\;C'(r) = 0 \Rightarrow r^{3} = 8 \Rightarrow r = 2 \ \text{m}, \quad h = 5 \ \text{m}, \quad C_{\min} = 240\pi \approx 754 \ \text{euros}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Optimización con restricción de volumen y función objetivo el coste (no la superficie, porque los dos materiales tienen precios distintos).

Las fórmulas del cilindro:

V = \pi r^{2}h, \qquad \text{tapas: } 2\pi r^{2}, \qquad \text{lateral: } 2\pi r h

Se despeja

h

del volumen, se sustituye en el coste y se minimiza en la variable

r

. El

\pi

del volumen se cancela y las cuentas salen redondas.

Desarrollo

Restricción de volumen.

\pi r^{2}h = 20\pi \;\Longrightarrow\; h = \frac{20}{r^{2}}

Función de coste. Las dos tapas (a

10

euros/m²) y la superficie lateral (a

8

C = 10\cdot\bigl(2\pi r^{2}\bigr) + 8\cdot\bigl(2\pi r h\bigr) = 20\pi r^{2} + 16\pi r h

Sustituyendo $h$ .

C(r) = 20\pi r^{2} + 16\pi r\cdot\frac{20}{r^{2}} = 20\pi r^{2} + \frac{320\pi}{r}, \qquad r > 0

Derivada y punto crítico.

C'(r) = 40\pi r - \frac{320\pi}{r^{2}} = \frac{40\pi\,\bigl(r^{3} - 8\bigr)}{r^{2}}

C'(r) = 0 \;\Longleftrightarrow\; r^{3} = 8 \;\Longleftrightarrow\; r = 2 \ \text{m}

Es mínimo.

C''(r) = 40\pi + \frac{640\pi}{r^{3}} > 0 \quad \text{para } r>0 \;\Longrightarrow\; \textbf{mínimo}

(También por el signo de $C'$ : negativo si $r<2$ y positivo si $r>2$ .)

La altura.

h = \frac{20}{2^{2}} = \frac{20}{4} = 5 \ \text{m}

Coste mínimo.

C(2) = 20\pi\cdot 4 + \frac{320\pi}{2} = 80\pi + 160\pi = 240\pi \approx 754 \ \text{euros}

\text{Radio } r = 2 \ \text{m}, \qquad \text{altura } h = 5 \ \text{m}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Lo que se minimiza es el coste, no la superficie: cada parte lleva su precio. Si sumas las áreas sin ponderar, obtienes otro radio y el problema queda mal.

Son dos tapas: $2\pi r^{2}$ , no $\pi r^{2}$ . Es el descuido más frecuente en los problemas de cilindros con tapa.

El $\pi$ aparece en todos los términos y se puede arrastrar cómodamente (o incluso sacar factor común), porque no afecta a dónde está el mínimo. Y si el enunciado da el volumen como $20\pi$ es precisamente para que se cancele y el resultado salga entero.