Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

Andalucía · 2017 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. Se sabe que la función

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

dada por

f(x) = \begin{cases} 3x + 2 & \text{si } x < 0 \\[4pt] x^{2} + 2a\cos(x) & \text{si } 0 \leq x < \pi \\[4pt] a\,x^{2} + b & \text{si } x \geq \pi\end{cases}

es continua.

a) [1,5 puntos] Determina

a

b

.

b) [1 punto] Estudia la derivabilidad de

f

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad \text{En } x=0: \; 2 = 2a \Rightarrow a = 1; \qquad \text{en } x=\pi: \; \pi^{2}-2 = \pi^{2}+b \Rightarrow b = -2\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad f'(0^{-}) = 3 \neq 0 = f'(0^{+}): \textbf{ no derivable en } x=0\;}

\boxed{\;f'(\pi^{-}) = f'(\pi^{+}) = 2\pi: \textbf{ derivable en } x=\pi. \quad \text{Derivable en } \mathbb{R}-\{0\}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Función de tres trozos y dos puntos de empalme,

x=0

x=\pi

. La continuidad da una ecuación en cada uno:

En $x=0$ solo interviene $a$ (porque $\cos 0 = 1$ ), así que se despeja directamente.
En $x=\pi$ , con $a$ ya conocido, se despeja $b$ (y aquí $\cos\pi = -1$ ).

En b) hay que comparar las derivadas laterales en los dos puntos. El resultado no es el mismo en ambos: en uno falla y en el otro se cumple.

Desarrollo

a) Continuidad en $x = 0$ .

\lim_{x\to 0^{-}} (3x+2) = 2, \qquad f(0) = 0 + 2a\cos 0 = 2a

2a = 2 \;\Longrightarrow\; a = 1

Continuidad en $x = \pi$ . Con

a=1

, la rama central en

\pi

vale

\pi^{2} + 2\cos\pi = \pi^{2} - 2

y la de la derecha,

\;\pi^{2} + b

\pi^{2} - 2 = \pi^{2} + b \;\Longrightarrow\; b = -2

a = 1, \qquad b = -2

b) Derivabilidad. Las derivadas de cada rama (con

a=1

b=-2

x < 0: \; f'(x) = 3 \qquad 0 < x < \pi: \; f'(x) = 2x - 2\operatorname{sen} x \qquad x > \pi: \; f'(x) = 2x

En $x = 0$ :

f'(0^{-}) = 3, \qquad f'(0^{+}) = 2\cdot 0 - 2\operatorname{sen} 0 = 0

3 \neq 0 \;\Longrightarrow\; f \textbf{ no es derivable en } x = 0

(Es un punto anguloso: la gráfica llega con pendiente $3$ y sale con tangente horizontal.)

En $x = \pi$ :

f'(\pi^{-}) = 2\pi - 2\operatorname{sen}\pi = 2\pi, \qquad f'(\pi^{+}) = 2\pi

\text{Coinciden} \;\Longrightarrow\; f \textbf{ es derivable en } x = \pi

Conclusión.

f

es derivable en

\mathbb{R} - \{0\}

: en el resto de puntos lo es por ser suma y producto de funciones derivables, y en

x=\pi

el empalme es suave.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Con tres trozos hay dos empalmes, y cada uno da su ecuación. Aquí además se resuelven en cascada: el de $x=0$ solo contiene $a$ y el de $x=\pi$ añade $b$ .

Cuida los valores de las funciones trigonométricas: $\cos 0 = 1$ pero $\cos\pi = -1$ . Ese cambio de signo es justo lo que hace aparecer el $-2$ en la segunda ecuación.

En b) la respuesta no es la misma en los dos puntos, y hay que decirlo por separado. La conclusión completa es "derivable en $\mathbb{R}$ salvo en $x=0$ ", no un simple "sí" o "no".