Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2012 · Reserva 6 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. Sean las funciones

f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}

g : [0,+\infty)\to\mathbb{R}

definidas por

f(x) = \frac{x^{2}}{4} \qquad \text{y} \qquad g(x) = 2\sqrt{x}

a) [0,75 puntos] Halla los puntos de corte de las gráficas de

f

g

. Realiza un esbozo del recinto que limitan.

b) [1,75 puntos] Calcula el área de dicho recinto.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\frac{x^{2}}{4} = 2\sqrt x \;\Longrightarrow\; x^{4} = 64x \;\Longrightarrow\; x\,(x^{3}-64) = 0: \ x = 0,\ x = 4\;}

\boxed{\;\text{Cortes } (0,0) \text{ y } (4,4); \ \text{en } (0,4) \text{ va arriba } g \ \bigl(g(1) = 2 > f(1) = \tfrac14\bigr)\;}

\boxed{\;A = \int_{0}^{4}\left[2x^{1/2}-\frac{x^{2}}{4}\right]dx = \left[\frac43 x^{3/2}-\frac{x^{3}}{12}\right]_{0}^{4}\;}

\boxed{\;A = \frac{32}{3}-\frac{16}{3} = \frac{16}{3} \approx 5{,}33 \ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Al igualar aparece una raíz: se eleva al cuadrado y luego se comprueban las soluciones (elevar al cuadrado puede introducir soluciones falsas).

\frac{x^{2}}{4} = 2\sqrt x \;\Longrightarrow\; x^{2} = 8\sqrt x \;\Longrightarrow\; x^{4} = 64x

Para el área, escribe la raíz como potencia:

\;2\sqrt x = 2x^{1/2}

, cuya primitiva es

\dfrac{4}{3}x^{3/2}

.

Y decide quién va arriba evaluando en un punto interior.

Desarrollo

a) Los puntos de corte.

\frac{x^{2}}{4} = 2\sqrt x \;\Longrightarrow\; x^{2} = 8\sqrt x

Elevando al cuadrado (ambos miembros son

\geq0

en el dominio

x\geq0

x^{4} = 64x \;\Longrightarrow\; x\,\bigl(x^{3}-64\bigr) = 0 \;\Longrightarrow\; x = 0 \quad \text{o} \quad x = 4

Comprobación (por si hubiera soluciones falsas):

x=0: \ 0 = 0 \;\checkmark \qquad x=4: \ \frac{16}{4} = 4 \ \text{y} \ 2\sqrt4 = 4 \;\checkmark

\text{Cortes: } (0,\,0) \qquad \text{y} \qquad (4,\,4)

El recinto.

f

es una parábola de ramas hacia arriba (muy abierta, por el

\frac14

) y

g

es media parábola tumbada. Entre

x=0

x=4

encierran una figura con forma de lente.

¿Quién va arriba? En

x = 1

g(1) = 2 \qquad > \qquad f(1) = \frac14

La raíz está por encima.

b) El área.

A = \int_{0}^{4}\left[2\sqrt x-\frac{x^{2}}{4}\right]dx = \int_{0}^{4}\left[2x^{1/2}-\frac{x^{2}}{4}\right]dx

= \left[2\cdot\frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{x^{3}}{12}\right]_{0}^{4} = \left[\frac43 x^{3/2}-\frac{x^{3}}{12}\right]_{0}^{4}

Evaluando en $x=4$ , con

4^{3/2} = 8

\frac43\cdot8-\frac{64}{12} = \frac{32}{3}-\frac{16}{3} = \frac{16}{3}

A = \frac{16}{3} \approx 5{,}33 \ \text{u}^{2}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Al elevar al cuadrado pueden aparecer soluciones falsas: comprueba las dos en la ecuación original. Aquí ambas valen, pero el paso hay que hacerlo.

Escribe $2\sqrt x = 2x^{1/2}$ antes de integrar: la primitiva es $\frac43 x^{3/2}$ , y con $4^{3/2} = 8$ la evaluación sale exacta.

Estas dos curvas son inversas una de la otra respecto de $y=x$ (comprueba: $f(4)=4$ y $g(4)=4$ ), así que el recinto es simétrico respecto de esa recta. Sirve de control del resultado.