Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2013 · Reserva 4 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Halla

\int\frac{x+1}{1+\sqrt{x}}\,dx \qquad \left(\text{Sugerencia: se puede hacer el cambio de variable } t = \sqrt{x}\,\right)

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Resultado

\boxed{\;t = \sqrt x: \quad x = t^{2}, \ dx = 2t\,dt \;\Longrightarrow\; \int\frac{2t^{3}+2t}{t+1}\,dt\;}

\boxed{\;\frac{2t^{3}+2t}{t+1} = 2t^{2}-2t+4-\frac{4}{t+1}\;}

\boxed{\;= \frac{2t^{3}}{3}-t^{2}+4t-4\ln(t+1)+C\;}

\boxed{\;= \frac{2}{3}x^{3/2}-x+4\sqrt x-4\ln\bigl(\sqrt x+1\bigr)+C\;}

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Estrategia

Cambio de variable con la sugerencia dada:

t = \sqrt x \;\Longrightarrow\; x = t^{2}, \quad dx = 2t\,dt

Tras sustituir queda

\int\frac{2t\,(t^{2}+1)}{t+1}\,dt

una racional con numerador de grado 3 y denominador de grado 1: hay que dividir. El cociente es un polinomio de grado 2 y el resto, una constante que da un logaritmo.

Desarrollo

El cambio de variable.

t = \sqrt x \;\;(t\geq0) \;\Longrightarrow\; x = t^{2}, \qquad dx = 2t\,dt

Sustituyendo.

\int\frac{x+1}{1+\sqrt x}\,dx = \int\frac{t^{2}+1}{1+t}\cdot 2t\,dt = \int\frac{2t^{3}+2t}{t+1}\,dt

La división. Dividiendo

2t^{3}+2t

entre

t+1

2t^{3}+2t = \bigl(t+1\bigr)\bigl(2t^{2}-2t+4\bigr)-4

\frac{2t^{3}+2t}{t+1} = 2t^{2}-2t+4-\frac{4}{t+1}

Integrando.

\int\left(2t^{2}-2t+4-\frac{4}{t+1}\right)dt = \frac{2t^{3}}{3}-t^{2}+4t-4\ln\lvert t+1\rvert

Deshaciendo el cambio. Con

t = \sqrt x

t+1>0

\int\frac{x+1}{1+\sqrt x}\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2}-x+4\sqrt x-4\ln\bigl(\sqrt x+1\bigr)+C

(Se ha usado $t^{2} = x$ , $\;t^{3} = x\sqrt x = x^{3/2}$ .)

Comprobación (derivando en $t$ , que es más rápido).

\frac{d}{dt}\left[\frac{2t^{3}}{3}-t^{2}+4t-4\ln(t+1)\right] = 2t^{2}-2t+4-\frac{4}{t+1} = \frac{2t^{3}+2t}{t+1} \;\checkmark

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Consejo

Traduce las tres piezas: $x = t^{2}$ , la raíz $\sqrt x = t$ y el diferencial $dx = 2t\,dt$ . Ese $2t$ es el que convierte la integral en una racional manejable.

El numerador tiene grado mayor que el denominador: hay que dividir, no descomponer en fracciones simples. El cociente es un polinomio de grado 2 y el resto una constante.

Comprueba derivando en la variable $t$ antes de deshacer el cambio: es mucho más rápido que derivar la expresión final con raíces. Y no olvides volver a $x$ en la respuesta.