Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Optimización

Andalucía · 2019 · Septiembre · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Dada la función

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

definida por

f(x) = 6 - \frac{1}{6}x^{2}

calcula las dimensiones del rectángulo de área máxima, de lados paralelos a los ejes, inscrito en el recinto comprendido entre la gráfica de

f

y la recta

y = 0

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Base } 2x, \text{ altura } 6 - \tfrac{x^{2}}{6} \;\Longrightarrow\; A(x) = 12x - \frac{x^{3}}{3}\;}

\boxed{\;A'(x) = 12 - x^{2} = 0 \Rightarrow x = 2\sqrt3, \quad A''(2\sqrt3) = -4\sqrt3 < 0\;}

\boxed{\;\text{Base} = 4\sqrt3 \approx 6{,}93, \quad \text{Altura} = 4, \quad A_{\max} = 16\sqrt3 \approx 27{,}71\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Problema de optimización con figura. El plan de siempre:

Dibujar mentalmente la situación y elegir la variable.
Escribir el área en función de esa única variable.
Derivar, anular y comprobar que es máximo.

La clave está en el paso 1. La parábola

y = 6 - \frac{x^{2}}{6}

es simétrica respecto del eje $OY$ , así que el rectángulo de área máxima también lo será: sus vértices inferiores estarán en

(\pm x, 0)

y los superiores en

(\pm x, f(x))

. Con eso, una sola variable describe el rectángulo.

Desarrollo

El recinto. La parábola corta al eje

OX

donde

6 - \frac{x^{2}}{6} = 0 \;\Longrightarrow\; x^{2} = 36 \;\Longrightarrow\; x = \pm 6

El recinto es la región bajo la parábola entre

x=-6

x=6

, con vértice en

(0,6)

.

Las dimensiones del rectángulo. Tomando

x \in (0,6)

como semibase:

\text{base} = 2x, \qquad \text{altura} = f(x) = 6 - \frac{x^{2}}{6}

Función objetivo.

A(x) = 2x\left(6 - \frac{x^{2}}{6}\right) = 12x - \frac{x^{3}}{3}, \qquad x \in (0,\, 6)

Derivada y punto crítico.

A'(x) = 12 - x^{2} = 0 \;\Longrightarrow\; x^{2} = 12 \;\Longrightarrow\; x = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46

(se descarta

x = -2\sqrt3

por estar fuera del intervalo).

Comprobación de que es máximo.

A''(x) = -2x \;\Longrightarrow\; A''\bigl(2\sqrt3\bigr) = -4\sqrt3 < 0 \;\Longrightarrow\; \textbf{máximo}

(También se ve por los extremos: $A(0) = A(6) = 0$ , así que el único punto crítico interior tiene que ser el máximo.)

Dimensiones.

\text{base} = 2\cdot 2\sqrt3 = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93

\text{altura} = 6 - \frac{12}{6} = 6 - 2 = 4

A_{\max} = 4\sqrt3\cdot 4 = 16\sqrt{3} \approx 27{,}71 \ \text{unidades cuadradas}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Aprovecha la simetría. Si no la usas y llamas $x_{1}$ y $x_{2}$ a las dos abscisas, te quedan dos variables y el problema se complica sin necesidad. La parábola es par, luego el rectángulo óptimo está centrado en el eje $OY$ .

El error más caro es confundir semibase con base: si escribes $A = x\,f(x)$ , obtienes un $x$ distinto y unas dimensiones mal. Deja anotado desde el principio que la base es $2x$ .

Y no olvides justificar que es máximo: con $A''<0$ , o razonando que el área se anula en los dos extremos del intervalo. Sin esa justificación el problema no está completo, aunque el número sea correcto.