Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

Andalucía · 2015 · Reserva 5 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Halla

a

b

sabiendo que es continua la función

f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}

definida como

f(x) = \begin{cases} \dfrac{x+\cos(x)-a\,e^{x}}{x^{2}} & \text{si } x\neq 0 \\[10pt] b & \text{si } x = 0\end{cases}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Numerador} \to 0: \quad 1-a = 0 \;\Longrightarrow\; a = 1\;}

\boxed{\;\lim_{x\to0}\frac{x+\cos x-e^{x}}{x^{2}} \overset{\text{L'H}}{=} \lim_{x\to0}\frac{1-\mathrm{sen}\,x-e^{x}}{2x} \overset{\text{L'H}}{=} \lim_{x\to0}\frac{-\cos x-e^{x}}{2} = -1\;}

\boxed{\;a = 1, \qquad b = -1\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Para que

f

sea continua en

x=0

debe existir el límite y valer

b

\lim_{x\to0}\frac{x+\cos x-a\,e^{x}}{x^{2}} = b

El denominador tiende a

0

. Para que el límite exista y sea finito, el numerador tiene que tender a

0

también: esa es la ecuación que da

a

. Después, con

a

ya conocido, se calcula el límite (dos aplicaciones de L'Hôpital) y ese valor es

b

.

(En $x\neq0$ la función es continua sin más: es un cociente de funciones continuas con denominador no nulo.)

Desarrollo

Condición para que el límite sea finito. El numerador en

x=0

0+\cos 0-a\,e^{0} = 1-a

1-a\neq0

, el cociente tendería a

\pm\infty

y no habría límite finito. Por tanto

1-a = 0 \;\Longrightarrow\; a = 1

El límite con $a=1$ . Es una indeterminación

\frac00

; aplicamos L'Hôpital:

\lim_{x\to0}\frac{x+\cos x-e^{x}}{x^{2}} = \lim_{x\to0}\frac{1-\mathrm{sen}\,x-e^{x}}{2x}

Sigue siendo $\frac00$ (el numerador en

0

vale

1-0-1 = 0

); segunda aplicación:

= \lim_{x\to0}\frac{-\cos x-e^{x}}{2} = \frac{-1-1}{2} = -1

El valor de $b$ . La continuidad exige que

f(0) = b

coincida con el límite:

b = -1

a = 1, \qquad b = -1

Comprobación con desarrollos de Taylor. Cerca de

0

\cos x = 1-\frac{x^{2}}{2}+\cdots \qquad e^{x} = 1+x+\frac{x^{2}}{2}+\cdots

x+\cos x-e^{x} = x+1-\frac{x^{2}}{2}-1-x-\frac{x^{2}}{2}+\cdots = -x^{2}+\cdots

\frac{-x^{2}+\cdots}{x^{2}} \longrightarrow -1 \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El orden es importante: primero $a$ (imponiendo que el numerador tienda a $0$ ) y luego $b$ (calculando el límite). Si intentas hacerlo al revés te queda una expresión con dos incógnitas imposible de manejar.

Comprueba antes de cada aplicación de L'Hôpital que sigue habiendo $\frac00$ . Aquí hacen falta dos pasos; un tercero daría un resultado falso porque el denominador ya no tiende a cero.

Como comprobación, los desarrollos de Taylor de $\cos x$ y $e^{x}$ hasta grado $2$ resuelven el límite en tres líneas y sin derivar. Es el mejor control de calidad para este tipo de ejercicio.