Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2019 · Septiembre · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Determina la función

f : (0,+\infty) \to \mathbb{R}

sabiendo que es derivable, que su función derivada cumple

f'(x) = \frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}

(

\ln

denota la función logaritmo neperiano) y que la gráfica de

f

pasa por el punto

(1,0)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;u = \ln x,\; dv = x^{-1/2}dx \Rightarrow v = 2\sqrt x: \quad \int\frac{\ln x}{\sqrt x}dx = 2\sqrt x\ln x - 4\sqrt x + C\;}

\boxed{\;f(1) = 0 \;\Longrightarrow\; -4 + C = 0 \;\Longrightarrow\; C = 4\;}

\boxed{\;f(x) = 2\sqrt{x}\,\bigl(\ln x - 2\bigr) + 4\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Se conoce

f'

y se pide

f

: hay que integrar y luego usar el punto para fijar la constante.

La integral

\displaystyle\int\frac{\ln x}{\sqrt x}\,dx

es un producto de logaritmo por potencia, el caso típico de integración por partes con

u = \ln x

(para que al derivar desaparezca el logaritmo) y

dv = x^{-1/2}dx

.

El detalle que hay que cuidar es

v

: la primitiva de

x^{-1/2}

2\sqrt x

, con ese

2

delante.

Desarrollo

Integración por partes.

u = \ln x \;\Longrightarrow\; du = \frac{dx}{x}

dv = x^{-1/2}\,dx \;\Longrightarrow\; v = \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2\sqrt{x}

\int\frac{\ln x}{\sqrt x}\,dx = 2\sqrt{x}\,\ln x - \int 2\sqrt{x}\cdot\frac{dx}{x}

La integral que queda se simplifica sola, porque

\dfrac{\sqrt x}{x} = \dfrac{1}{\sqrt x}

\int\frac{2\sqrt x}{x}\,dx = 2\int x^{-1/2}dx = 2\cdot 2\sqrt{x} = 4\sqrt{x}

f(x) = 2\sqrt{x}\,\ln x - 4\sqrt{x} + C = 2\sqrt{x}\,\bigl(\ln x - 2\bigr) + C

Comprobación (derivando):

\frac{d}{dx}\Bigl[2\sqrt x \ln x - 4\sqrt x\Bigr] = \frac{\ln x}{\sqrt x} + 2\sqrt x\cdot\frac{1}{x} - \frac{2}{\sqrt x} = \frac{\ln x}{\sqrt x} + \frac{2}{\sqrt x} - \frac{2}{\sqrt x} = \frac{\ln x}{\sqrt x} \quad \checkmark

La constante. Imponemos que la gráfica pase por

(1,0)

, es decir

f(1) = 0

f(1) = 2\cdot 1\cdot\bigl(\ln 1 - 2\bigr) + C = 2\,(0 - 2) + C = -4 + C = 0 \;\Longrightarrow\; C = 4

f(x) = 2\sqrt{x}\,\bigl(\ln x - 2\bigr) + 4

(Comprobación final: $f(1) = 2(0-2) + 4 = 0\;\checkmark$ . Y en $x = e^{2}$ la función vale $4$ , porque el paréntesis se anula.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Con $\ln x$ multiplicando a una potencia, elige siempre $u = \ln x$ : al derivarlo desaparece el logaritmo y queda una potencia sola. Al revés, $dv = \ln x\,dx$ , tendrías que integrar el logaritmo primero: más trabajo para nada.

Cuidado con $v$ : $\int x^{-1/2}dx = 2\sqrt{x}$ , no $\sqrt{x}$ . Ese factor $2$ se arrastra a los dos términos del resultado y es el desliz más habitual del ejercicio.

Y no te dejes la constante: "la gráfica pasa por $(1,0)$ " es lo que convierte una familia de primitivas en la función pedida. Sin ese paso el problema está a medias.