Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2016 · Septiembre · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Sea

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

la función definida por

f(x) = x^{4}

. Encuentra la recta horizontal que corta a la gráfica de

f

formando con ella un recinto con área

\dfrac{8}{5}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;y = k \text{ con } k>0; \quad \text{cortes en } x = \pm\sqrt[4]{k}, \text{ con la recta por encima}\;}

\boxed{\;A = 2\int_{0}^{\sqrt[4]{k}}\bigl(k - x^{4}\bigr)dx = \frac{8\,k^{5/4}}{5}\;}

\boxed{\;\frac{8k^{5/4}}{5} = \frac85 \;\Longrightarrow\; k = 1: \quad \text{la recta es } y = 1\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Una recta horizontal es

y = k

. Para que corte a la gráfica de

x^{4}

y encierre un recinto hace falta

k > 0

; los cortes son entonces

x^{4} = k \;\Longrightarrow\; x = \pm\sqrt[4]{k}

Entre ellos la recta va por encima de la curva

y = x^{4}

, así que el integrando es

k - x^{4}

.

Como todo es par, basta integrar de

0

\sqrt[4]{k}

y duplicar. El área saldrá proporcional a

k^{5/4}

y la ecuación final es inmediata.

Desarrollo

Los cortes.

x^{4} = k \;\Longrightarrow\; x = \pm\sqrt[4]{k}, \qquad k > 0

¿Quién va arriba? En

x=0

: la recta vale

k > 0

y la curva

0

. La recta está por encima en todo el intervalo.

Área (aprovechando la paridad):

A = \int_{-\sqrt[4]{k}}^{\sqrt[4]{k}}\bigl(k - x^{4}\bigr)dx = 2\int_{0}^{\sqrt[4]{k}}\bigl(k - x^{4}\bigr)dx

= 2\left[k\,x - \frac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{\sqrt[4]{k}} = 2\left(k\cdot k^{1/4} - \frac{k^{5/4}}{5}\right)

Como

k\cdot k^{1/4} = k^{5/4}

\bigl(k^{1/4}\bigr)^{5} = k^{5/4}

A = 2\left(k^{5/4} - \frac{k^{5/4}}{5}\right) = 2\cdot\frac{4\,k^{5/4}}{5} = \frac{8\,k^{5/4}}{5}

La ecuación del área.

\frac{8\,k^{5/4}}{5} = \frac{8}{5} \;\Longrightarrow\; k^{5/4} = 1 \;\Longrightarrow\; k = 1

\text{La recta es } \; y = 1

Comprobación. Con

k=1

los cortes son

x = \pm 1

A = 2\int_{0}^{1}\bigl(1 - x^{4}\bigr)dx = 2\left[x - \frac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{1} = 2\left(1 - \frac15\right) = \frac{8}{5} \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Los límites de integración dependen del parámetro: son $\pm\sqrt[4]{k}$ , no unos números. Integrar con $k$ dentro es exactamente lo que se está evaluando.

Aprovecha la paridad de $x^{4}$ : integra de $0$ a $\sqrt[4]{k}$ y multiplica por dos. Y justifica por qué la recta va por encima (basta evaluar en $x=0$ ); si restas al revés obtienes un área negativa.

Maneja bien las potencias fraccionarias: $k\cdot k^{1/4} = k^{5/4}$ y $\bigl(k^{1/4}\bigr)^{5} = k^{5/4}$ , así que los dos términos son del mismo tipo y se agrupan. Es lo que hace que la ecuación final sea $k^{5/4} = 1$ y salga $k=1$ .