Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2009 · Reserva 1 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. Considera las funciones

f,g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}

definidas por

f(x) = |x| \qquad g(x) = 6-x^{2}

a) [1 punto] Esboza el recinto limitado por sus gráficas.

b) [1,5 puntos] Calcula el área de dicho recinto.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f = |x| \text{ (uve)}; \quad g = 6-x^{2} \text{ (parábola, vértice } (0,6))\;}

\boxed{\;x\geq0: \ x = 6-x^{2} \Rightarrow x^{2}+x-6 = 0 \Rightarrow x = 2 \ (x = -3 \text{ no vale})\;}

\boxed{\;\text{Cortes } (\pm2,\,2); \ \text{arriba va } g \ \bigl(g(0) = 6 > f(0) = 0\bigr)\;}

\boxed{\;A = 2\int_{0}^{2}\bigl[6-x^{2}-x\bigr]dx = 2\cdot\frac{22}{3} = \frac{44}{3} \approx 14{,}67\ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

f

es la "uve"

y=|x|

g

una parábola de ramas hacia abajo con vértice

(0,6)

.

Las dos funciones son pares, así que todo es simétrico respecto del eje

Y

: basta resolver en

x\geq0

(donde

|x| = x

) y duplicar el área.

Desarrollo

a) Las gráficas y los cortes.

$f(x) = |x|$ : dos semirrectas desde el origen, de pendientes $\pm1$ .
$g(x) = 6-x^{2}$ : parábola hacia abajo, vértice $(0,6)$ , cortes con el eje $X$ en $x = \pm\sqrt6$ .

Los puntos de corte. Para

x\geq0

(

|x| = x

x = 6-x^{2} \;\Longrightarrow\; x^{2}+x-6 = 0 \;\Longrightarrow\; (x+3)(x-2) = 0

x = 2 \qquad \text{o} \qquad x = -3 \ \text{(descartada: no es } \geq0)

Por simetría, el otro corte es

x = -2

\text{Cortes: } (-2,\,2) \qquad \text{y} \qquad (2,\,2)

b) El área. ¿Quién va arriba? En

x = 0

g(0) = 6 \qquad > \qquad f(0) = 0

La parábola está por encima en todo

[-2,2]

A = \int_{-2}^{2}\Bigl[\bigl(6-x^{2}\bigr)-|x|\Bigr]dx

Aprovechando la paridad (el integrando es par):

A = 2\int_{0}^{2}\bigl[6-x^{2}-x\bigr]dx = 2\left[6x-\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{2}

= 2\left(12-\frac83-2\right) = 2\left(10-\frac83\right) = 2\cdot\frac{30-8}{3} = \frac{44}{3}

A = \frac{44}{3} \approx 14{,}67 \ \text{u}^{2}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Con valor absoluto, parte en tramos antes de resolver la ecuación: al poner $|x| = x$ (válido solo si $x\geq0$ ) aparece $x = -3$ , que hay que descartar.

Si las dos funciones son pares, integra en $[0,2]$ y multiplica por $2$ . Ahorra la mitad de las cuentas y evita errores de signo con el valor absoluto.

Los límites de integración son los cortes entre las curvas ( $\pm2$ ), no los cortes de la parábola con el eje ( $\pm\sqrt6$ ). Es el error más caro del problema.