Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

Andalucía · 2018 · Septiembre · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Considera la función

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

definida por

f(x) = \begin{cases} a\,x^{2} + b\,x + c & \text{si } x \leq 0 \\[8pt] \dfrac{e^{x} - e^{-x} - 2x}{x - \operatorname{sen}(x)} & \text{si } x > 0\end{cases}

Determina

a

b

c

sabiendo que

f

es continua, alcanza un máximo relativo en

x = -1

y la recta tangente a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = -2

tiene pendiente

2

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\lim_{x\to 0^{+}}\frac{e^{x}-e^{-x}-2x}{x-\operatorname{sen} x} \overset{\text{L'H}\times 3}{=} \frac{e^{x}+e^{-x}}{\cos x}\Big|_{0} = 2 \;\Longrightarrow\; c = 2\;}

\boxed{\;f'(-1) = -2a + b = 0, \qquad f'(-2) = -4a + b = 2\;}

\boxed{\;a = -1, \quad b = -2, \quad c = 2\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Tres condiciones para tres incógnitas, pero de naturalezas muy distintas:

La continuidad en $x=0$ obliga a que $c$ coincida con el límite por la derecha. Ese límite es una indeterminación $\frac00$ que exige L'Hôpital tres veces: es la parte técnica del ejercicio.
Las otras dos condiciones ( $f'(-1) = 0$ y $f'(-2) = 2$ ) viven en la rama polinómica y dan un sistema $2\times 2$ inmediato en $a$ y $b$ .

Conviene hacer primero las dos fáciles y dejar el límite para el final.

Desarrollo

El límite por la derecha. En

x=0

, numerador y denominador se anulan:

e^{0} - e^{0} - 0 = 0, \qquad 0 - \operatorname{sen} 0 = 0

Primera aplicación de L'Hôpital:

\lim_{x\to 0^{+}}\frac{e^{x} + e^{-x} - 2}{1 - \cos x}

x=0

\;1 + 1 - 2 = 0\;

\;1 - 1 = 0

. Sigue siendo $\frac00$ .

Segunda:

\lim_{x\to 0^{+}}\frac{e^{x} - e^{-x}}{\operatorname{sen} x}

x=0

\;1 - 1 = 0\;

\;0

. Otra vez $\frac00$ .

Tercera:

\lim_{x\to 0^{+}}\frac{e^{x} + e^{-x}}{\cos x} = \frac{1+1}{1} = 2

Continuidad en $x = 0$ . Por la izquierda,

f(0) = c

c = 2

Condición del máximo relativo en $x = -1$ . En la rama polinómica,

f'(x) = 2a\,x + b

f'(-1) = -2a + b = 0

Condición de la pendiente en $x = -2$ .

f'(-2) = -4a + b = 2

Sistema. Restando la primera de la segunda:

-2a = 2 \;\Longrightarrow\; a = -1

b = 2a = -2

a = -1, \qquad b = -2, \qquad c = 2

Comprobación de que en $x=-1$ hay máximo (y no mínimo):

f''(x) = 2a = -2 < 0 \quad \checkmark

La rama izquierda queda

f(x) = -x^{2} - 2x + 2

, una parábola hacia abajo con vértice en

x=-1

, donde vale

3

. Y

f(0) = 2

, que coincide con el límite por la derecha

\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Comprueba la indeterminación después de cada derivación. Aquí hay que aplicar L'Hôpital tres veces; parar en la segunda da un límite mal calculado y una $c$ equivocada.

Deriva bien $e^{-x}$ : su derivada es $-e^{-x}$ , así que $\bigl(e^{x} - e^{-x}\bigr)' = e^{x} + e^{-x}$ . Los signos alternan en cada vuelta y son la fuente principal de errores.

Y no mezcles ramas: las dos condiciones sobre la derivada son en $x=-1$ y $x=-2$ , ambas negativas, así que se aplican a la parábola. El límite por la derecha solo interviene en la continuidad, para fijar $c$ .