Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2024 · Reserva 3

Enunciado

Ejercicio 4 (bloque B). Calcula una primitiva de la función

f : (1,+\infty) \to \mathbb{R}

definida por

f(x) = (x-1)^{2}\,\ln\!\left(\frac{\sqrt{x-1}}{2}\right)

cuya gráfica pase por el punto

\left(5,\ -\dfrac{7}{2}\right)

, donde

\ln

denota la función logaritmo neperiano. (Sugerencia: efectúa el cambio de variable $x - 1 = t^{2}$ .)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;F(x) = \frac{(x-1)^{3}}{3}\,\ln\!\left(\frac{\sqrt{x-1}}{2}\right) - \frac{(x-1)^{3}}{18} + \frac{1}{18}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Antes de integrar nada, conviene desmontar el logaritmo con sus propiedades:

\ln\!\left(\frac{\sqrt{x-1}}{2}\right) = \frac{1}{2}\ln(x-1) - \ln 2

Con eso, y el cambio sencillo

u = x-1

, el problema se reduce a dos integrales conocidas:

\int u^{2}\ln u\,du

(por partes) y

\int u^{2}du

(inmediata). El cambio

x-1=t^{2}

que sugiere el enunciado también funciona, pero obliga a integrar

t^{5}\ln t

; el camino corto es simplificar el logaritmo primero.

Y una elección de método que ahorra mucho: al integrar por partes, tomar

u^{2}

como el factor que se integra y

\ln u

como el que se deriva (al derivar el logaritmo desaparece).

Desarrollo

Paso 1: simplificar el logaritmo.

f(x) = (x-1)^{2}\left[\frac{1}{2}\ln(x-1) - \ln 2\right]

Paso 2: el cambio $u = x - 1$ (con

du = dx

, y

u>0

porque

x>1

\int f\,dx = \frac{1}{2}\int u^{2}\ln u\,du \;-\; \ln 2\int u^{2}\,du

Paso 3: la integral por partes. Con

p = \ln u

(

dp = \frac{du}{u}

) y

dq = u^{2}du

(

q = \frac{u^{3}}{3}

\int u^{2}\ln u\,du = \frac{u^{3}}{3}\ln u - \int \frac{u^{3}}{3}\cdot\frac{1}{u}\,du = \frac{u^{3}}{3}\ln u - \frac{u^{3}}{9}

Paso 4: juntar.

\int f\,dx = \frac{1}{2}\left(\frac{u^{3}}{3}\ln u - \frac{u^{3}}{9}\right) - \ln 2\cdot\frac{u^{3}}{3} + C = \frac{u^{3}}{3}\left[\frac{1}{2}\ln u - \ln 2\right] - \frac{u^{3}}{18} + C

y reconociendo el corchete como el logaritmo original,

F(x) = \frac{(x-1)^{3}}{3}\,\ln\!\left(\frac{\sqrt{x-1}}{2}\right) - \frac{(x-1)^{3}}{18} + C

Paso 5: imponer el punto $\left(5, -\frac{7}{2}\right)$ . Para

x=5

x-1=4

\ln\!\left(\frac{\sqrt{4}}{2}\right) = \ln\!\left(\frac{2}{2}\right) = \ln 1 = 0

(el valor $x=5$ está elegido justo para que el logaritmo se anule). Entonces

F(5) = \frac{64}{3}\cdot 0 - \frac{64}{18} + C = -\frac{32}{9} + C

-\frac{32}{9} + C = -\frac{7}{2} \;\Longrightarrow\; C = -\frac{7}{2} + \frac{32}{9} = \frac{-63 + 64}{18} = \frac{1}{18}

La primitiva pedida:

F(x) = \frac{(x-1)^{3}}{3}\,\ln\!\left(\frac{\sqrt{x-1}}{2}\right) - \frac{(x-1)^{3}}{18} + \frac{1}{18}

Comprobación. Llamando

u = x-1

L = \ln\frac{\sqrt{u}}{2} = \frac{1}{2}\ln u - \ln 2

, se tiene

L' = \frac{1}{2u}

, luego

F'(x) = u^{2}L + \frac{u^{3}}{3}\cdot\frac{1}{2u} - \frac{3u^{2}}{18} = u^{2}L + \frac{u^{2}}{6} - \frac{u^{2}}{6} = u^{2}L = f(x)

F(5) = -\frac{64}{18} + \frac{1}{18} = -\frac{63}{18} = -\frac{7}{2}

✓.

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Consejo

Usa las propiedades del logaritmo antes de integrar: $\ln\frac{\sqrt{x-1}}{2} = \frac{1}{2}\ln(x-1) - \ln 2$ . Así separas una integral por partes estándar de otra inmediata. Con el logaritmo sin desarrollar, la integración por partes es la misma pero se manejan peor las constantes.

Al integrar por partes con logaritmos, deriva siempre el logaritmo: es lo que hace que desaparezca. Si eliges $p = u^{2}$ , el logaritmo sigue ahí en la siguiente vuelta y no avanzas.