Opción B · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Sea f la función definida por f(x) = \frac{x}{\sqrt{4-9x^{4}}} Halla la primitiva F de f que cumple \;F(0) = 3. *(Sugerencia: utiliza el cambio de variable t = \frac32 x^{2}).*

Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2009 · Reserva 2 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Sea

f

la función definida por

f(x) = \frac{x}{\sqrt{4-9x^{4}}}

Halla la primitiva

F

f

que cumple

\;F(0) = 3

.

(Sugerencia: utiliza el cambio de variable $t = \frac32 x^{2}$ ).

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;t = \tfrac32 x^{2} \;\Longrightarrow\; x\,dx = \tfrac{dt}{3}, \quad 9x^{4} = 4t^{2}\;}

\boxed{\;\int\frac{x\,dx}{\sqrt{4-9x^{4}}} = \frac13\int\frac{dt}{2\sqrt{1-t^{2}}} = \frac16\operatorname{arcsen} t+C\;}

\boxed{\;F(x) = \frac16\operatorname{arcsen}\left(\frac32 x^{2}\right)+C\;}

\boxed{\;F(0) = C = 3 \;\Longrightarrow\; F(x) = \frac16\operatorname{arcsen}\left(\frac32 x^{2}\right)+3\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El cambio sugerido convierte la integral en la del arcoseno:

\int\frac{du}{\sqrt{1-u^{2}}} = \operatorname{arcsen} u

Con

t = \frac32 x^{2}

se tiene

dt = 3x\,dx

, y ese

x\,dx

es exactamente lo que hay en el numerador. Además

9x^{4} = 4\cdot\frac94 x^{4} = 4t^{2}

así que el radicando se convierte en

4-4t^{2} = 4\,\bigl(1-t^{2}\bigr)

Desarrollo

El cambio de variable.

t = \frac32 x^{2} \;\Longrightarrow\; dt = 3x\,dx \;\Longrightarrow\; x\,dx = \frac{dt}{3}

t^{2} = \frac94 x^{4} \;\Longrightarrow\; 9x^{4} = 4t^{2}

Sustituyendo.

\int\frac{x\,dx}{\sqrt{4-9x^{4}}} = \int\frac{\tfrac{dt}{3}}{\sqrt{4-4t^{2}}} = \frac13\int\frac{dt}{2\sqrt{1-t^{2}}} = \frac16\int\frac{dt}{\sqrt{1-t^{2}}}

= \frac16\operatorname{arcsen}(t)+C

Deshacemos el cambio.

F(x) = \frac16\operatorname{arcsen}\left(\frac32 x^{2}\right)+C

La condición $F(0) = 3$ . Como

\operatorname{arcsen}(0) = 0

F(0) = 0+C = 3 \;\Longrightarrow\; C = 3

F(x) = \frac16\operatorname{arcsen}\left(\frac32 x^{2}\right)+3

Comprobación (derivando). Con la regla de la cadena:

F'(x) = \frac16\cdot\frac{1}{\sqrt{1-\bigl(\tfrac32 x^{2}\bigr)^{2}}}\cdot 3x = \frac{x}{2\sqrt{1-\tfrac94 x^{4}}}

Y metiendo el

2

dentro de la raíz (

2 = \sqrt4

= \frac{x}{\sqrt{4\left(1-\tfrac94 x^{4}\right)}} = \frac{x}{\sqrt{4-9x^{4}}} = f(x) \;\checkmark

(Dominio: hace falta $9x^{4}<4$ , es decir $|x|<\sqrt[4]{4/9}\approx0{,}816$ ; el punto $x=0$ está dentro.)

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Consejo

Cuando aparece $\sqrt{a^{2}-u^{2}}$ en el denominador, piensa en el arcoseno. El objetivo del cambio es llegar a la forma $\dfrac{du}{\sqrt{1-u^{2}}}$ .

Saca el $2$ de la raíz: $\sqrt{4-4t^{2}} = 2\sqrt{1-t^{2}}$ . Ese factor es el que convierte el $\frac13$ en $\frac16$ ; olvidarlo estropea la constante final.

Comprueba derivando y no olvides la regla de la cadena en el arcoseno. Es la forma más rápida de detectar un coeficiente mal puesto.