Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2016 · Junio · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. Sea

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

la función definida por

f(x) = \frac{x}{x^{2}+1}

a) [0,75 puntos] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de

f

. Calcula los puntos de corte de dichas asíntotas con la gráfica de

f

.

b) [1,25 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de

f

(abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

c) [0,5 puntos] Esboza la gráfica de

f

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad \text{Sin verticales}; \quad \text{A.H.: } y = 0, \text{ que corta a la gráfica en } (0,0)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad f'(x) = \frac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}: \text{ crece en } (-1,1), \text{ decrece en } (-\infty,-1)\cup(1,\infty)\;}

\boxed{\;\text{Mínimo } \left(-1,-\tfrac12\right); \qquad \text{máximo } \left(1,\tfrac12\right)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El denominador

x^{2}+1

nunca se anula, así que no hay asíntotas verticales: el dominio es todo

\mathbb{R}

. Y como el grado de abajo es mayor, el límite en el infinito es

0

: hay asíntota horizontal $y=0$ .

La pregunta sobre los cortes de la asíntota con la gráfica tiene truco: normalmente una curva no corta a su asíntota horizontal, pero aquí sí lo hace, en el origen.

Al derivar aparece la diferencia de cuadrados

1-x^{2}

, que se factoriza sola.

Desarrollo

a) Asíntotas.

Verticales:

x^{2}+1 > 0

para todo

x

, luego

f

es continua en

\mathbb{R}

: no hay.

Horizontal: el grado del denominador supera al del numerador,

\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x}{x^{2}+1} = 0 \;\Longrightarrow\; \textbf{Asíntota horizontal: } y = 0

(Al existir horizontal en ambas ramas, no hay oblicua.)

Corte de la asíntota con la gráfica.

f(x) = 0 \;\Longleftrightarrow\; x = 0 \;\Longrightarrow\; (0,\, 0)

La curva corta a su asíntota horizontal en el origen.

b) Monotonía.

f'(x) = \frac{1\cdot(x^{2}+1) - x\cdot 2x}{(x^{2}+1)^{2}} = \frac{1 - x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}

El denominador es siempre positivo, luego el signo lo da

1-x^{2} = (1-x)(1+x)

f'(x) = 0 \;\Longleftrightarrow\; x = -1 \quad \text{o} \quad x = 1

\begin{array}{c|c|c} \text{Intervalo} & 1-x^{2} & f \\ \hline (-\infty,\, -1) & - & \text{decreciente} \\ (-1,\, 1) & + & \text{creciente} \\ (1,\, +\infty) & - & \text{decreciente}\end{array}

\text{Creciente en } (-1,\, 1); \qquad \text{decreciente en } (-\infty,-1)\cup(1,+\infty)

Extremos relativos.

x = -1: \text{ pasa de decrecer a crecer} \Rightarrow \textbf{mínimo}, \quad f(-1) = \frac{-1}{2} = -\frac12

x = 1: \text{ pasa de crecer a decrecer} \Rightarrow \textbf{máximo}, \quad f(1) = \frac{1}{2}

\text{Mínimo } \left(-1,\, -\tfrac12\right); \qquad \text{máximo } \left(1,\, \tfrac12\right)

(Son además absolutos: la función tiende a $0$ en los dos infinitos y no supera esos valores.)

c) Esbozo.

f

es impar (

f(-x) = -f(x)

), así que la gráfica es simétrica respecto del origen. Corta a los ejes solo en

(0,0)

. Viene de

0

por debajo, baja al mínimo

\left(-1,-\tfrac12\right)

, sube atravesando el origen hasta el máximo

\left(1,\tfrac12\right)

y vuelve a acercarse a

y=0

por arriba.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

$x^{2}+1$ nunca se anula: no hay asíntotas verticales y el dominio es todo $\mathbb{R}$ . Decirlo explícitamente vale tanto como encontrarlas cuando las hay.

Que la gráfica corte a su asíntota horizontal no es contradictorio: la asíntota describe el comportamiento en el infinito, no impone nada a distancia finita. El enunciado pregunta por ese corte precisamente para comprobar que se entiende.

Aprovecha la imparidad ( $f(-x) = -f(x)$ ) para el esbozo: basta estudiar $x\geq 0$ y reflejar respecto del origen. También explica por qué el máximo y el mínimo son opuestos.