Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2022 · Reserva 4

Enunciado

Ejercicio 2 (bloque A). Considera la función

f

definida por

f(x) = \frac{x^{4} - 3x^{2} + 2}{(x + 2)^{3}}

para

x \neq -2

.

a) [1,5 puntos] Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de

f

.

b) [1 punto] Calcula la ecuación de la recta normal a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = 0

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad \text{Asíntota vertical } x = -2 \; (+\infty \text{ por la derecha}, -\infty \text{ por la izquierda})\;}

\boxed{\;\text{Asíntota oblicua } y = x - 6; \quad \text{no hay horizontales}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad f(0) = \tfrac{1}{4}, \; f'(0) = -\tfrac{3}{8} \;\Longrightarrow\; y = \frac{8}{3}x + \frac{1}{4}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Función racional con denominador de grado $3$ y numerador de grado $4$ : la diferencia de grados es exactamente

1

, así que habrá asíntota oblicua, y la forma de obtenerla es dividir los polinomios.

Para la asíntota vertical, el candidato es

x = -2

, pero hay que comprobar antes que el numerador no se anule ahí (si se anulara, podría ser una discontinuidad evitable en lugar de una asíntota). El numerador factoriza como

(x^{2}-1)(x^{2}-2)

, y ninguna de sus raíces es

-2

.

En b), derivada del cociente en

x = 0

. Conviene simplificar un factor

(x+2)^{2}

antes de evaluar para no manejar potencias sextas.

Desarrollo

Factorización del numerador.

x^{4} - 3x^{2} + 2 = \bigl(x^{2} - 1\bigr)\bigl(x^{2} - 2\bigr)

Sus raíces son

x = \pm 1

x = \pm\sqrt{2}

. Ninguna vale $-2$ , así que la fracción no se simplifica.

a) Asíntota vertical. El único punto excluido del dominio es

x = -2

. Evaluando el numerador ahí:

(-2)^{4} - 3(-2)^{2} + 2 = 16 - 12 + 2 = 6 \neq 0

Como el numerador tiende a

6

y el denominador a

0

, hay asíntota vertical $x = -2$ . Los límites laterales:

\lim_{x\to -2^{+}} f(x) = \frac{6}{0^{+}} = +\infty, \qquad \lim_{x\to -2^{-}} f(x) = \frac{6}{0^{-}} = -\infty

(El signo se lee de $(x+2)^{3}$ , que es positivo a la derecha de $-2$ y negativo a la izquierda, al ser un exponente impar.)

Asíntotas horizontales. No hay: como el grado del numerador supera al del denominador,

\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = \pm\infty

Asíntota oblicua. Dividiendo

x^{4} - 3x^{2} + 2

entre

(x+2)^{3} = x^{3} + 6x^{2} + 12x + 8

x^{4} - 3x^{2} + 2 = \bigl(x^{3} + 6x^{2} + 12x + 8\bigr)\,(x - 6) + \bigl(21x^{2} + 64x + 50\bigr)

Por tanto

f(x) = x - 6 + \frac{21x^{2} + 64x + 50}{(x+2)^{3}}

y como el resto es un cociente con el denominador de mayor grado, tiende a

0

en el infinito:

\text{Asíntota oblicua: } y = x - 6 \quad \text{(en } +\infty \text{ y en } -\infty\text{)}

b) Recta normal en $x = 0$ .

f(0) = \frac{0 - 0 + 2}{2^{3}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}

Derivada. Por la regla del cociente, y simplificando un factor

(x+2)^{2}

f'(x) = \frac{\bigl(4x^{3} - 6x\bigr)(x+2)^{3} - \bigl(x^{4}-3x^{2}+2\bigr)\cdot 3(x+2)^{2}}{(x+2)^{6}} = \frac{\bigl(4x^{3}-6x\bigr)(x+2) - 3\bigl(x^{4}-3x^{2}+2\bigr)}{(x+2)^{4}}

Evaluando en $x = 0$ :

f'(0) = \frac{0\cdot 2 - 3\cdot 2}{2^{4}} = \frac{-6}{16} = -\frac{3}{8}

Pendiente de la normal.

m_{N} = -\frac{1}{f'(0)} = -\frac{1}{-3/8} = \frac{8}{3}

Ecuación.

y - \frac{1}{4} = \frac{8}{3}\,(x - 0) \;\Longrightarrow\; y = \frac{8}{3}x + \frac{1}{4}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Antes de declarar una asíntota vertical, comprueba que el numerador no se anula en ese punto. Si se anulara habría que simplificar y podría no haber asíntota. Aquí el numerador vale $6$ en $x=-2$ , así que la asíntota es real.

El exponente impar del denominador es lo que hace que los dos límites laterales sean $+\infty$ y $-\infty$ . Si fuera $(x+2)^{2}$ , los dos serían $+\infty$ . Merece la pena mirar la paridad del exponente antes de escribir los signos, en vez de calcular los dos límites por separado.