Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2014 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. Sea

f

la función definida por

f(x) = \dfrac{1}{2x}+\ln x

para

x>0

(

\ln

denota el logaritmo neperiano).

a) [1,75 puntos] Determina el punto de la gráfica de

f

en el que la pendiente de la recta tangente es máxima.

b) [0,75 puntos] Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = 1

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f'(x) = \frac{2x-1}{2x^{2}}, \qquad f''(x) = \frac{1-x}{x^{3}}\;}

\boxed{\;\text{a) Maximizar } f' \Rightarrow f'' = 0 \Rightarrow x = 1 \ (\text{máximo, pues } f'' \text{ cambia de} + \text{a} -)\;}

\boxed{\;\text{Punto } \left(1,\tfrac12\right), \ \text{pendiente máxima } f'(1) = \tfrac12\;}

\boxed{\;\text{b) } m_{N} = -\frac{1}{1/2} = -2: \quad y = -2x+\frac52\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El apartado a) tiene truco: no se pide maximizar

f

, sino maximizar la pendiente, es decir, maximizar

f'

\text{Maximizar } f' \;\Longrightarrow\; \text{buscar donde } (f')' = f'' = 0

y comprobar que ahí hay máximo (con

f'''

o con el signo de

f''

). Es un problema de optimización una derivada más arriba de lo habitual.

En b), la normal es perpendicular a la tangente: su pendiente es

-\dfrac{1}{f'(1)}

Desarrollo

Las derivadas.

f(x) = \frac{1}{2x}+\ln x = \frac{1}{2}x^{-1}+\ln x

f'(x) = -\frac{1}{2x^{2}}+\frac{1}{x} = \frac{2x-1}{2x^{2}}

f''(x) = \frac{1}{x^{3}}-\frac{1}{x^{2}} = \frac{1-x}{x^{3}}

a) Máximo de la pendiente. Buscamos el máximo de

f'

, luego anulamos

f''

\frac{1-x}{x^{3}} = 0 \;\Longrightarrow\; x = 1 \qquad (x>0)

¿Es máximo? El signo de

f''

lo da el numerador

1-x

(porque

x^{3}>0

0<x<1: \; f''>0 \;\Rightarrow\; f' \text{ crece} \qquad x>1: \; f''<0 \;\Rightarrow\; f' \text{ decrece}

\Longrightarrow \ x = 1 \text{ es \textbf{máximo} de } f'

(También con la tercera derivada: $f'''(x) = \frac{2x-3}{x^{4}}$ , y $f'''(1) = -1 < 0$ .)

El punto y la pendiente máxima.

f(1) = \frac12+\ln 1 = \frac12 \qquad f'(1) = \frac{2-1}{2} = \frac12

\textbf{Punto } \left(1,\; \frac12\right), \quad \text{con pendiente máxima } \frac12

b) La recta normal en $x=1$ . La tangente tiene pendiente

f'(1) = \frac12

, luego la normal tiene pendiente

m_{N} = -\frac{1}{f'(1)} = -2

Pasando por

\left(1,\frac12\right)

y-\frac12 = -2\,(x-1) \;\Longrightarrow\; y = -2x+\frac{5}{2}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"Pendiente de la tangente máxima" significa maximizar $f'$ , no $f$ . Por eso hay que resolver $f'' = 0$ , no $f' = 0$ . Es el error que decide este ejercicio.

Justifica que es máximo mirando el signo de $f''$ (o con $f'''<0$ ). Anular la segunda derivada sin justificar solo demuestra que ahí hay un punto de inflexión de $f$ .

La normal tiene pendiente $-\frac{1}{f'(1)}$ , la opuesta de la inversa. Confundirla con $-f'(1)$ es muy frecuente: aquí daría $-\frac12$ en lugar de $-2$ .