Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2013 · Septiembre · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. Sea

g : \mathbb{R}\to\mathbb{R}

la función definida por

g(x) = -x^{2}+6x-5

.

a) [0,75 puntos] Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de

g

en el punto de abscisa

x = 4

.

b) [1,75 puntos] Esboza el recinto limitado por la gráfica de

g

y la recta

x-2y+2 = 0

. Calcula el área de este recinto.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a) } g(4) = 3, \ g'(4) = -2 \;\Longrightarrow\; m_{N} = \tfrac12: \quad y = \frac x2+1\;}

\boxed{\;\text{b) } -x^{2}+6x-5 = \frac{x+2}{2} \;\Longrightarrow\; 2x^{2}-11x+12 = 0: \ x = \tfrac32,\ x = 4\;}

\boxed{\;A = \int_{3/2}^{4}\left(-x^{2}+\frac{11x}{2}-6\right)dx\;}

\boxed{\;A = -\frac43-\left(-\frac{63}{16}\right) = \frac{125}{48} \approx 2{,}60 \ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) La normal es perpendicular a la tangente: su pendiente es $-\dfrac{1}{g'(4)}$ .
b) Se despeja la recta ( $y = \frac{x+2}{2}$ ), se hallan los cortes con la parábola y se integra la diferencia. Como la parábola tiene las ramas hacia abajo, entre los cortes va por encima de la recta.

Los cortes salen de una cuadrática con una fracción: conviene multiplicar por

2

desde el principio.

Desarrollo

a) La recta normal en $x = 4$ .

g(4) = -16+24-5 = 3 \qquad g'(x) = -2x+6 \;\Longrightarrow\; g'(4) = -2

Pendiente de la normal:

m_{N} = -\frac{1}{g'(4)} = -\frac{1}{-2} = \frac12

y-3 = \frac12\,(x-4) \;\Longrightarrow\; y = \frac{x}{2}+1

(Es justo la recta $x-2y+2 = 0$ del apartado b): el recinto lo limitan la parábola y su normal en $x=4$ , así que $x=4$ tiene que salir como uno de los cortes.)

b) La recta y los cortes. De

x-2y+2 = 0

y = \frac{x+2}{2}

Igualando con la parábola:

-x^{2}+6x-5 = \frac{x+2}{2} \;\Longrightarrow\; -2x^{2}+12x-10 = x+2

2x^{2}-11x+12 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \frac{11\pm\sqrt{121-96}}{4} = \frac{11\pm5}{4}

x = \frac{3}{2} \qquad \text{y} \qquad x = 4

El recinto. La parábola

y = -x^{2}+6x-5

tiene las ramas hacia abajo, vértice en

(3,4)

y corta a

OX

x=1

x=5

. La recta es creciente de pendiente

\frac12

. Entre

x = \frac32

x = 4

la parábola queda por encima (en

x=3

g=4 > \frac52

).

El área.

A = \int_{3/2}^{4}\left[\bigl(-x^{2}+6x-5\bigr)-\frac{x+2}{2}\right]dx = \int_{3/2}^{4}\left(-x^{2}+\frac{11x}{2}-6\right)dx

La primitiva.

\left[-\frac{x^{3}}{3}+\frac{11x^{2}}{4}-6x\right]_{3/2}^{4}

En $x=4$ :

-\frac{64}{3}+44-24 = -\frac{64}{3}+20 = -\frac{4}{3}

En $x=\frac32$ :

-\frac{27}{24}+\frac{11\cdot 9}{16}-9 = -\frac98+\frac{99}{16}-9 = \frac{-18+99-144}{16} = -\frac{63}{16}

El área.

A = -\frac43+\frac{63}{16} = \frac{-64+189}{48} = \frac{125}{48} \approx 2{,}60 \ \text{u}^{2}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

La normal tiene pendiente $-\frac{1}{g'(4)}$ , la opuesta de la inversa. Aquí $g'(4) = -2$ y la normal vale $\frac12$ ; confundirla con $-g'(4) = 2$ es el error típico.

Al igualar, multiplica por $2$ para quitar la fracción antes de ordenar la cuadrática. Así $2x^{2}-11x+12 = 0$ sale con coeficientes enteros y el discriminante es limpio.

La parábola tiene ramas hacia abajo, así que entre los cortes va por encima de la recta: el integrando es (parábola $-$ recta). Compruébalo evaluando en $x=3$ .