Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2013 · Reserva 1 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Sea

f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}

la función definida por

f(x) = x^{3}+a x^{2}+b x+c

. Se sabe que un punto de inflexión de la gráfica de

f

tiene abscisa

x = 1

y que

f

tiene un mínimo relativo en

x = 2

de valor

-9

. Calcula

a

b

c

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f'(x) = 3x^{2}+2ax+b, \qquad f''(x) = 6x+2a\;}

\boxed{\;f''(1) = 6+2a = 0 \;\Longrightarrow\; a = -3\;}

\boxed{\;f'(2) = 12+4a+b = b = 0 \;\Longrightarrow\; b = 0\;}

\boxed{\;f(2) = c-4 = -9 \Rightarrow c = -5: \quad f(x) = x^{3}-3x^{2}-5 \quad (f''(2) = 6>0)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Tres incógnitas y tres condiciones, cada una en un "nivel" distinto de derivada:

Inflexión en $x=1$ : $\;f''(1) = 0$ $\;\to$ da $a$ directamente.
Mínimo relativo en $x=2$ : $\;f'(2) = 0$ $\;\to$ con $a$ conocido, da $b$ .
De valor $-9$ : $\;f(2) = -9$ $\;\to$ da $c$ .

Resolviendo en ese orden (de la segunda derivada hacia la función) cada ecuación aísla una incógnita y no hace falta ningún sistema.

Al final conviene comprobar

f''(2)>0

, que es lo que confirma que se trata de un mínimo.

Desarrollo

Las derivadas.

f'(x) = 3x^{2}+2a x+b \qquad f''(x) = 6x+2a

1) Inflexión en $x = 1$ .

f''(1) = 6+2a = 0 \;\Longrightarrow\; a = -3

2) Mínimo relativo en $x = 2$ .

f'(2) = 12+4a+b = 12-12+b = b = 0 \;\Longrightarrow\; b = 0

3) El valor del mínimo: $f(2) = -9$ .

8+4a+2b+c = 8-12+0+c = c-4 = -9 \;\Longrightarrow\; c = -5

a = -3, \qquad b = 0, \qquad c = -5 \qquad\Longrightarrow\qquad f(x) = x^{3}-3x^{2}-5

Comprobaciones.

f'(x) = 3x^{2}-6x = 3x\,(x-2) \;\Longrightarrow\; f'(2) = 0 \;\checkmark

f''(x) = 6x-6 \;\Longrightarrow\; f''(1) = 0 \;\checkmark \quad \text{y} \quad f''(2) = 6 > 0 \;\Longrightarrow\; \textbf{mínimo} \;\checkmark

f(2) = 8-12-5 = -9 \;\checkmark

(Además, $f''$ cambia de signo en $x=1$ , así que ahí hay de verdad un punto de inflexión, en $(1,-7)$ . Y en $x=0$ hay un máximo relativo, $f(0) = -5$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Ordena las condiciones de $f''$ hacia $f$ : cada una aísla una incógnita y te ahorras resolver un sistema $3\times3$ .

"Mínimo relativo en $x=2$ de valor $-9$ " son dos cosas: $f'(2) = 0$ (dónde) y $f(2) = -9$ (cuánto). Ambas hacen falta.

Comprueba $f''(2)>0$ : el enunciado dice mínimo, y con solo $f'(2)=0$ también encajaría un máximo. Es la verificación que cierra el ejercicio.