Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2017 · Septiembre · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. Considera la función

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

definida por

f(x) = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2}

a) [2 puntos] Estudia y determina los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento de

f

. Calcula los extremos relativos de

f

(abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

b) [0,5 puntos] Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = 0

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f'(x) = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2} = 0 \;\Longleftrightarrow\; x = 0\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad \text{Decreciente en } (-\infty,0), \text{ creciente en } (0,+\infty); \quad \text{mínimo } (0,\, 1)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad f'(0) = 0 \Rightarrow \text{tangente } y = 1 \text{ (horizontal)}; \quad \text{normal: } x = 0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La derivada tiene la misma forma que la función pero con una resta:

f'(x) = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}

y su signo se estudia comparando

e^{x}

con

e^{-x}

, es decir, comparando

x

con

-x

. Como la exponencial es creciente,

e^{x} > e^{-x} \;\Longleftrightarrow\; x > -x \;\Longleftrightarrow\; x > 0

En b) hay una sorpresa útil: en

x=0

la derivada se anula, así que la tangente es horizontal y la normal, vertical.

Desarrollo

a) Derivada.

f'(x) = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}

Punto crítico.

e^{x} - e^{-x} = 0 \;\Longleftrightarrow\; e^{x} = e^{-x} \;\Longleftrightarrow\; x = -x \;\Longleftrightarrow\; x = 0

Signo de $f'$ . Multiplicando por

e^{x} > 0

, la condición

e^{x} > e^{-x}

equivale a

e^{2x} > 1

, o sea

x>0

x < 0 \Rightarrow f'(x) < 0 \; (\text{decreciente}); \qquad x > 0 \Rightarrow f'(x) > 0 \; (\text{creciente})

\text{Decreciente en } (-\infty,\, 0); \qquad \text{creciente en } (0,\, +\infty)

Extremo relativo. La derivada pasa de negativa a positiva: mínimo.

f(0) = \frac{e^{0} + e^{0}}{2} = \frac{1+1}{2} = 1

\text{Mínimo relativo } (0,\, 1)

(Confirmación con la segunda derivada: $f''(x) = \dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2} = f(x) > 0$ siempre, luego $f''(0) = 1 > 0$ . De hecho, al ser $f'' > 0$ en todo $\mathbb{R}$ , la función es convexa y el mínimo es absoluto.)

b) Recta normal en $x = 0$ . La pendiente de la tangente es

f'(0) = \frac{1 - 1}{2} = 0

La tangente es horizontal (

y = 1

), así que la normal es vertical y pasa por

(0,1)

x = 0

es decir, el eje de ordenadas.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Para estudiar el signo de $e^{x} - e^{-x}$ no hace falta calculadora: como la exponencial es creciente, $e^{x} > e^{-x}$ equivale a $x > -x$ , es decir $x>0$ . También sirve multiplicar por $e^{x}$ y llegar a $e^{2x} > 1$ .

Observa que $f'' = f$ : esta función (el coseno hiperbólico) es su propia segunda derivada. Como $f > 0$ siempre, es convexa en todo $\mathbb{R}$ y el mínimo es absoluto, no solo relativo. Decirlo suma.

Y en b), pendiente $0$ significa normal vertical: la respuesta es $x=0$ , no una ecuación del tipo $y = \ldots$ . Intentar aplicar $m_{n} = -1/m_{t}$ con $m_{t}=0$ es imposible, y ese es precisamente el aviso.