Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Optimización

Andalucía · 2018 · Reserva 4 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Considera un triángulo isósceles en el que el lado desigual mide

8

cm y la altura correspondiente mide

5

cm. Calcula las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede inscribir en dicho triángulo (ver figura).

Triángulo isósceles de base 8 cm y altura 5 cm con un rectángulo inscrito, apoyado sobre la base y con los dos vértices superiores sobre los lados iguales

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Resultado

\boxed{\;\text{Semejanza: } \frac{b}{8} = \frac{5-h}{5} \;\Longrightarrow\; h = 5\left(1 - \frac{b}{8}\right)\;}

\boxed{\;A(b) = 5b - \frac{5b^{2}}{8}; \qquad A'(b) = 5 - \frac{5b}{4} = 0 \;\Longrightarrow\; b = 4\;}

\boxed{\;\text{Base } 4 \ \text{cm}, \quad \text{altura } 2{,}5 \ \text{cm}, \quad A_{\max} = 10 \ \text{cm}^{2}\;}

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Estrategia

El rectángulo está apoyado en la base del triángulo y tiene los dos vértices superiores sobre los lados iguales. Por simetría, está centrado.

La relación entre base y altura del rectángulo sale de la semejanza de triángulos: el triángulo pequeño que queda por encima del rectángulo es semejante al grande. Si el rectángulo tiene base

b

, el triángulo superior tiene base

b

y su altura es

5 - h

, luego

\frac{b}{8} = \frac{5 - h}{5}

De ahí se despeja

h

en función de

b

, el área queda en una sola variable y se optimiza. La función objetivo resulta ser una parábola, así que el máximo se puede localizar incluso sin derivar.

Desarrollo

Relación entre las dimensiones. El triángulo que queda sobre el rectángulo es semejante al original (mismos ángulos):

\frac{b}{8} = \frac{5 - h}{5} \;\Longrightarrow\; 5b = 8\,(5-h) \;\Longrightarrow\; h = 5 - \frac{5b}{8} = 5\left(1 - \frac{b}{8}\right)

Función objetivo.

A(b) = b\,h = 5b\left(1 - \frac{b}{8}\right) = 5b - \frac{5b^{2}}{8}, \qquad b\in(0,\, 8)

Optimización.

A'(b) = 5 - \frac{5b}{4} = 0 \;\Longrightarrow\; \frac{5b}{4} = 5 \;\Longrightarrow\; b = 4 \ \text{cm}

Es máximo.

A''(b) = -\frac{5}{4} < 0 \;\Longrightarrow\; \textbf{máximo}

(También sin derivar: $A$ es una parábola hacia abajo con ceros en $b=0$ y $b=8$ , así que su vértice está en el punto medio, $b=4$ .)

Dimensiones.

b = 4 \ \text{cm}, \qquad h = 5\left(1 - \frac48\right) = \frac{5}{2} = 2{,}5 \ \text{cm}

A_{\max} = 4\cdot 2{,}5 = 10 \ \text{cm}^{2}

(Resultado con una interpretación bonita: el rectángulo óptimo tiene la mitad de la base y la mitad de la altura del triángulo, y su área es la mitad del área del triángulo, que vale $\tfrac{8\cdot 5}{2} = 20$ cm². Ocurre siempre, sea cual sea el triángulo.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

La relación entre $b$ y $h$ no es arbitraria: sale de la semejanza entre el triángulo superior y el original. Es el paso conceptual del problema; sin él no se puede reducir a una sola variable.

Cuidado con la proporción: el triángulo pequeño tiene base $b$ y altura $5-h$ (no $h$ ). Plantearla al revés da $h = \tfrac{5b}{8}$ y un resultado incorrecto.

Y recuerda el resultado general, que sirve de comprobación: el rectángulo inscrito de área máxima siempre tiene la mitad de la base y la mitad de la altura del triángulo, y su área es la mitad de la del triángulo. Si tu respuesta no cumple eso, revisa la semejanza.