Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2011 · Reserva 6 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. Sea

f\colon(-1,+\infty)\to\mathbb{R}

la función definida por

f(x) = \ln(x+1)

donde

\ln

denota la función logaritmo neperiano.

a) [0,75 puntos] Esboza el recinto limitado por la gráfica de

f

, el eje

OY

y la recta

y = 1

. Calcula los puntos de corte de las gráficas.

b) [1,75 puntos] Halla el área del recinto anterior.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f(0) = 0; \quad \ln(x+1) = 1 \Rightarrow x = e-1\;}

\boxed{\;\text{Vértices } (0,0), \ (0,1), \ (e-1,\,1)\;}

\boxed{\;\int\ln(x+1)\,dx = (x+1)\ln(x+1)-x \quad (u = \ln(x+1), \ v = x+1)\;}

\boxed{\;A = \Bigl[2x-(x+1)\ln(x+1)\Bigr]_{0}^{e-1} = e-2 \approx 0{,}718 \ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La gráfica de

\ln(x+1)

es la de

\ln x

desplazada una unidad a la izquierda: pasa por el origen y tiene asíntota vertical en

x = -1

.

El recinto es el "triángulo curvilíneo" con vértices

(0,0)

(0,1)

(e-1,1)

, limitado a la izquierda por el eje

OY

, arriba por

y=1

y abajo por la curva.

Para el área, la integral en

x

requiere

\int\ln(x+1)dx

(por partes). Integrar en $y$ es todavía más corto, porque

x = e^{y}-1

Desarrollo

a) Los puntos de corte.

Curva con el eje $OY$ (

x=0

f(0) = \ln1 = 0 \;\Longrightarrow\; (0,\,0)

Curva con la recta $y=1$ :

\ln(x+1) = 1 \;\Longrightarrow\; x+1 = e \;\Longrightarrow\; x = e-1 \approx 1{,}718

(e-1,\; 1)

Eje $OY$ con la recta $y=1$ :

\;(0,\,1)

\text{Vértices: } (0,0), \quad (0,1), \quad (e-1,\,1)

b) El área (integrando en $x$ ).

A = \int_{0}^{e-1}\Bigl[1-\ln(x+1)\Bigr]dx

La primitiva del logaritmo, por partes con

u = \ln(x+1)

dv = dx

\int\ln(x+1)\,dx = (x+1)\ln(x+1)-\int (x+1)\cdot\frac{1}{x+1}\,dx = (x+1)\ln(x+1)-x

(Se ha tomado $v = x+1$ , que también vale como primitiva de $dx$ y simplifica el cálculo.)

A = \Bigl[x-(x+1)\ln(x+1)+x\Bigr]_{0}^{e-1} = \Bigl[2x-(x+1)\ln(x+1)\Bigr]_{0}^{e-1}

En $x = e-1$ (donde

x+1 = e

\ln e = 1

2\,(e-1)-e\cdot1 = 2e-2-e = e-2

En $x = 0$ :

\;0-1\cdot0 = 0

A = e-2 \approx 0{,}718 \ \text{u}^{2}

Comprobación integrando en $y$ . Despejando,

x = e^{y}-1

A = \int_{0}^{1}\bigl(e^{y}-1\bigr)dy = \Bigl[e^{y}-y\Bigr]_{0}^{1} = (e-1)-(1-0) = e-2 \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Si el recinto está limitado por una recta horizontal, plantéate integrar en $y$ : aquí $x = e^{y}-1$ y la integral $\int_{0}^{1}(e^{y}-1)dy$ se hace de memoria.

Al integrar $\ln(x+1)$ por partes, elige $v = x+1$ en vez de $v = x$ : la fracción se cancela por completo y no queda nada que dividir.

Un $e$ en el resultado es normal en estos problemas: no intentes "redondearlo" en el desarrollo. Da la respuesta exacta ( $e-2$ ) y añade el valor aproximado al final.