Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

Andalucía · 2016 · Septiembre · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Sabiendo que

\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{e^{x}-1} - \frac{m}{2x}\right)

es finito, calcula

m

y el valor del límite.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\infty-\infty \;\Longrightarrow\; L = \lim_{x\to 0}\frac{2x - m(e^{x}-1)}{2x\,(e^{x}-1)}\;}

\boxed{\;\overset{\text{L'H}}{=} \lim_{x\to 0}\frac{2 - m\,e^{x}}{2(e^{x}-1) + 2x\,e^{x}}: \; \text{finito} \Longleftrightarrow 2 - m = 0 \Longrightarrow m = 2\;}

\boxed{\;L = -\frac{1}{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Tal cual está es una indeterminación

\infty - \infty

, así que lo primero es reducir a común denominador:

\frac{1}{e^{x}-1} - \frac{m}{2x} = \frac{2x - m\,(e^{x}-1)}{2x\,(e^{x}-1)}

El denominador se comporta como

2x^{2}

cerca de

0

. Para que el límite sea finito, el numerador debe anularse al menos dos veces; es decir, además de valer

0

x=0

, su derivada también debe anularse ahí. Esa es la condición que determina

m

Desarrollo

Común denominador.

L = \lim_{x\to 0}\frac{2x - m\,\bigl(e^{x}-1\bigr)}{2x\,\bigl(e^{x}-1\bigr)}

x=0

: numerador

0 - m\cdot 0 = 0

; denominador

0

. Indeterminación $\frac00$ .

Primera aplicación de L'Hôpital.

L = \lim_{x\to 0}\frac{2 - m\,e^{x}}{2\bigl(e^{x}-1\bigr) + 2x\,e^{x}}

x=0

: numerador

2 - m

; denominador

0 + 0 = 0

.

La condición de finitud. Si

2 - m \neq 0

, tendríamos un número no nulo dividido por

0

: el límite sería infinito. Para que sea finito:

2 - m = 0 \;\Longrightarrow\; m = 2

Segunda aplicación de L'Hôpital (ya con

m=2

, y de nuevo

\frac00

L = \lim_{x\to 0}\frac{-2e^{x}}{2e^{x} + 2e^{x} + 2x\,e^{x}} = \lim_{x\to 0}\frac{-2e^{x}}{\bigl(4 + 2x\bigr)e^{x}} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}

m = 2, \qquad L = -\frac{1}{2}

Comprobación con desarrollos. Usando

e^{x} - 1 = x + \dfrac{x^{2}}{2} + \cdots

\frac{1}{e^{x}-1} = \frac{1}{x\left(1 + \tfrac{x}{2} + \cdots\right)} = \frac{1}{x}\left(1 - \frac{x}{2} + \cdots\right) = \frac1x - \frac12 + \cdots

\frac{1}{e^{x}-1} - \frac{m}{2x} = \left(1 - \frac{m}{2}\right)\frac1x - \frac12 + \cdots

El término

\tfrac1x

desaparece si

m = 2

, y entonces el límite es

-\tfrac12

\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Ante $\infty - \infty$ , reduce a común denominador antes de tocar L'Hôpital: la regla solo se aplica a cocientes. Derivar cada sumando por separado es un error grave.

"El límite es finito" es la condición que fija el parámetro: si el numerador no se anula tantas veces como el denominador, el límite se va a infinito. Justificar ese razonamiento vale tanto como el cálculo.

Deriva con cuidado el denominador $2x(e^{x}-1)$ : la regla del producto da $2(e^{x}-1) + 2xe^{x}$ . Es el término que más se atraganta, y en $x=0$ vale $0$ , que es lo que permite aplicar L'Hôpital una segunda vez.