Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2023 · Reserva 4

Enunciado

Ejercicio 1 (bloque A). Sea

f : (-1, +\infty) \to \mathbb{R}

la función definida por

f(x) = \frac{\ln\,(x + 1) + a}{3x + 4}

(

\ln

denota la función logaritmo neperiano).

a) [1 punto] Determina

a

sabiendo que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función

f

en el punto de abscisa

x = 0

1

.

b) [1,5 puntos] Para

a = 0

, estudia y calcula las asíntotas de

f

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad f'(0) = \frac{4 - 3a}{16} = 1 \;\Longrightarrow\; a = -4\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \text{Asíntota vertical } x = -1 \; \text{y asíntota horizontal } y = 0 \; (\text{en } +\infty)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a), "pendiente de la tangente en

x=0

" es

f'(0)

: se deriva por la regla del cociente, se evalúa en

0

y se despeja

a

de una ecuación de primer grado.

En b) hay que revisar los tres tipos de asíntota, y el dominio

(-1, +\infty)

marca dónde buscarlas:

Verticales: en el borde del dominio, $x \to -1^{+}$ , y en los ceros del denominador. Aquí el denominador se anula en $x = -\frac{4}{3}$ , que está fuera del dominio: no cuenta.
Horizontal: solo en $+\infty$ , porque por la izquierda el dominio se acaba.
Oblicua: descartada si hay horizontal.

Desarrollo

a) Derivada por la regla del cociente.

f'(x) = \frac{\dfrac{1}{x+1}\,(3x + 4) - 3\,\bigl(\ln(x+1) + a\bigr)}{(3x + 4)^{2}}

Evaluando en

x = 0

(donde

\ln 1 = 0

f'(0) = \frac{1\cdot 4 - 3\,(0 + a)}{4^{2}} = \frac{4 - 3a}{16}

Ecuación.

\frac{4 - 3a}{16} = 1 \;\Longrightarrow\; 4 - 3a = 16 \;\Longrightarrow\; -3a = 12 \;\Longrightarrow\; a = -4

b) Caso $a = 0$ .

f(x) = \frac{\ln(x+1)}{3x + 4}, \qquad x \in (-1, +\infty)

Asíntota vertical. El denominador se anula en

x = -\frac{4}{3} \approx -1{,}33

, que no pertenece al dominio, así que no genera asíntota. El único candidato es el borde

x = -1

\lim_{x \to -1^{+}} \frac{\ln(x+1)}{3x+4} = \frac{-\infty}{1} = -\infty

(el numerador tiende a

-\infty

y el denominador a

3(-1)+4 = 1

). Hay asíntota vertical $x = -1$ , con la rama bajando hacia

-\infty

.

Asíntota horizontal.

\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x+1)}{3x + 4}

Es una indeterminación

\frac{\infty}{\infty}

. Por L'Hôpital:

\lim_{x\to+\infty} \frac{\dfrac{1}{x+1}}{3} = \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{3(x+1)} = 0

(o directamente por jerarquía de infinitos: el logaritmo crece más despacio que cualquier polinomio). Hay asíntota horizontal $y = 0$ cuando

x \to +\infty

.

Asíntota oblicua. No existe: al haber asíntota horizontal en

+\infty

, y siendo

-\infty

inalcanzable por el dominio, no queda ninguna dirección donde pueda aparecer.

Posición respecto de la asíntota horizontal. Para

x > 0

el numerador

\ln(x+1)

es positivo y el denominador también, así que

f(x) > 0

: la gráfica se acerca a

y=0

por encima.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Antes de buscar asíntotas verticales, mira el dominio. Aquí el denominador se anula en $x = -\frac{4}{3}$ , y la respuesta automática sería "asíntota vertical en $-4/3$ "; pero ese punto está fuera de $(-1,+\infty)$ , así que no existe. Las asíntotas verticales hay que buscarlas en los bordes del dominio y en los puntos que se excluyen de él, no en cualquier raíz del denominador.

Y por la misma razón no hay asíntota en $-\infty$ : la función ni siquiera está definida ahí. Calcular $\lim_{x\to-\infty} f(x)$ en este problema no tiene sentido y escribirlo delata que no se ha mirado el dominio.