Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

Andalucía · 2018 · Reserva 1 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. Considera la función

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

dada por

f(x) = \begin{cases} -x\,e^{x-1} & \text{si } x \leq 0 \\ \phantom{-}x\,e^{x-1} & \text{si } 0 < x \leq 1 \\ \phantom{-}x\,e^{1-x} & \text{si } 1 < x\end{cases}

a) [1 punto] Estudia la derivabilidad de

f

x = 0

y en

x = 1

.

b) [1,5 puntos] Estudia la existencia de asíntotas horizontales de la gráfica de

f

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a) En } x=0: \text{ continua, pero } f'(0^{-}) = -\tfrac1e \neq \tfrac1e = f'(0^{+}) \Rightarrow \text{no derivable}\;}

\boxed{\;\text{En } x=1: \text{ continua, pero } f'(1^{-}) = 2 \neq 0 = f'(1^{+}) \Rightarrow \text{no derivable}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \lim_{x\to-\infty} f = 0 \quad \text{y} \quad \lim_{x\to+\infty} f = 0 \;\Longrightarrow\; \text{A.H. } y = 0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Función definida en tres trozos, con dos puntos de empalme. En cada uno hay que:

Comprobar la continuidad (si falla, ya no puede ser derivable).
Calcular las derivadas laterales y compararlas.

Aquí las dos ramas centrales solo se diferencian en el signo, y la tercera cambia el exponente. Ninguna de las dos uniones va a ser derivable, pero por razones distintas.

En b), las asíntotas horizontales se estudian en

\pm\infty

, y en cada infinito manda una sola rama: la primera cuando

x\to-\infty

y la tercera cuando

x\to+\infty

Desarrollo

Las derivadas de cada rama.

x < 0: \quad f'(x) = -e^{x-1} - x\,e^{x-1} = -(1+x)\,e^{x-1}

0 < x < 1: \quad f'(x) = e^{x-1} + x\,e^{x-1} = (1+x)\,e^{x-1}

x > 1: \quad f'(x) = e^{1-x} - x\,e^{1-x} = (1-x)\,e^{1-x}

a.1) Estudio en $x = 0$ .

Continuidad:

f(0) = -0\cdot e^{-1} = 0, \qquad \lim_{x\to 0^{+}} x\,e^{x-1} = 0

Coinciden:

f

es continua en

x=0

.

Derivadas laterales:

f'(0^{-}) = -(1+0)\,e^{-1} = -\frac{1}{e} \approx -0{,}368

f'(0^{+}) = (1+0)\,e^{-1} = \frac{1}{e} \approx 0{,}368

f'(0^{-}) \neq f'(0^{+}) \;\Longrightarrow\; f \textbf{ no es derivable en } x = 0

(Es un punto anguloso: la gráfica tiene un pico con pendientes opuestas, típico de un valor absoluto.)

a.2) Estudio en $x = 1$ .

Continuidad:

f(1) = 1\cdot e^{0} = 1, \qquad \lim_{x\to 1^{+}} x\,e^{1-x} = 1\cdot e^{0} = 1

Coinciden:

f

es continua en

x=1

.

Derivadas laterales:

f'(1^{-}) = (1+1)\,e^{0} = 2

f'(1^{+}) = (1-1)\,e^{0} = 0

2 \neq 0 \;\Longrightarrow\; f \textbf{ no es derivable en } x = 1

(Aquí el pico es distinto: la gráfica llega subiendo con pendiente $2$ y sale con tangente horizontal.)

b) Asíntotas horizontales.

Cuando $x\to -\infty$ manda la primera rama:

\lim_{x\to -\infty}\bigl(-x\,e^{x-1}\bigr) = \lim_{x\to-\infty}\frac{-x}{e^{1-x}}

Es una indeterminación

\frac{\infty}{\infty}

; por L'Hôpital,

= \lim_{x\to-\infty}\frac{-1}{-e^{1-x}} = \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{e^{1-x}} = 0

Cuando $x\to +\infty$ manda la tercera rama:

\lim_{x\to +\infty} x\,e^{1-x} = \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{e^{x-1}} \;\overset{\infty/\infty}{=}\; \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{e^{x-1}} = 0

\textbf{Asíntota horizontal } y = 0 \text{ en ambos extremos}

(En los dos casos gana la exponencial: crece mucho más deprisa que el factor lineal.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Comprueba primero la continuidad: si un empalme no fuera continuo, sería directamente no derivable y no habría que calcular derivadas laterales. Aquí ambos son continuos, así que hay que llegar hasta el final.

Al derivar $x\,e^{kx}$ saca $e^{kx}$ factor común: las tres derivadas quedan de la forma $(\text{lineal})\cdot e^{\ldots}$ y evaluarlas en el empalme es inmediato.

En b), cada infinito lo gobierna una sola rama: la primera en $-\infty$ y la tercera en $+\infty$ . La rama central, definida solo en $(0,1]$ , no interviene. Y en ambos límites la exponencial gana al polinomio, así que la asíntota es $y=0$ .