Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2008 · Reserva 4 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Dada la función

f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}

definida por

f(x) = \frac{x+1}{e^{x}}

determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de

f

en su punto de inflexión.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f(x) = (x+1)e^{-x} \;\Longrightarrow\; f'(x) = -x\,e^{-x}\;}

\boxed{\;f''(x) = e^{-x}\,(x-1) = 0 \;\Longleftrightarrow\; x = 1 \ \text{(cambia de signo)}\;}

\boxed{\;f(1) = \frac2e, \qquad f'(1) = -\frac1e\;}

\boxed{\;y-\frac2e = -\frac1e\,(x-1) \;\Longrightarrow\; y = \frac{3-x}{e}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Conviene escribir la función como producto, no como cociente:

f(x) = (x+1)\,e^{-x}

Así se deriva con la regla del producto y las expresiones salen muy limpias (el factor

e^{-x}

se conserva y se puede sacar factor común).

Después:

$f''(x) = 0$ da la abscisa del punto de inflexión,
$f$ y $f'$ en ese punto dan el punto y la pendiente de la tangente.

Desarrollo

Las derivadas.

f(x) = (x+1)\,e^{-x}

f'(x) = 1\cdot e^{-x}+(x+1)\cdot\bigl(-e^{-x}\bigr) = e^{-x}\bigl[1-(x+1)\bigr] = -x\,e^{-x}

f''(x) = -1\cdot e^{-x}+(-x)\bigl(-e^{-x}\bigr) = e^{-x}\,(x-1)

El punto de inflexión. Como

e^{-x}>0

siempre:

f''(x) = 0 \;\Longleftrightarrow\; x-1 = 0 \;\Longleftrightarrow\; x = 1

Y es inflexión de verdad, porque

f''

cambia de signo:

x<1 \Rightarrow f''<0 \ \text{(cóncava)} \qquad x>1 \Rightarrow f''>0 \ \text{(convexa)}

El punto y la pendiente.

f(1) = \frac{2}{e} = 2e^{-1} \;\Longrightarrow\; \text{el punto es } \left(1,\; \frac2e\right)

f'(1) = -1\cdot e^{-1} = -\frac1e

La recta tangente.

y-\frac2e = -\frac1e\,(x-1) \;\Longrightarrow\; y = -\frac{x}{e}+\frac1e+\frac2e

y = \frac{3-x}{e}

Comprobación: en

x = 1

\;\dfrac{3-1}{e} = \dfrac2e = f(1)

\;\checkmark

(Numéricamente: la tangente es $y \approx -0{,}368x+1{,}104$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Escribe $\dfrac{x+1}{e^{x}}$ como $(x+1)e^{-x}$ : la regla del producto es mucho más limpia que la del cociente y permite sacar $e^{-x}$ como factor común en cada derivada.

Como $e^{-x}$ nunca se anula, los ceros de $f'$ y $f''$ los deciden solo los polinomios que los acompañan. Eso simplifica todos los estudios de signo.

Justifica que es inflexión comprobando que $f''$ cambia de signo. Anularse no basta: podría ser un punto donde la curvatura se mantiene.